تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

تبخیر و تعرق یک درخت بزرگ: تهویهٔ مطبوع طبیعی؟

تمرین 2 · درس 2 — تاریخچهٔ ترمودینامیک و کالریمتری

مرتبهٔ بزرگی
تبخیر و تعرق
درخت
گرمای نهان
توان سرمایشی
تهویهٔ مطبوع
COP

صورت مسئله

در روزی گرم و خشک، یک درخت بزرگ که آب کافی در اختیار دارد می‌تواند حدود $500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3$ آب را با تبخیر و تعرق از دست بدهد. چون تعرق عمدتاً در روشنایی رخ می‌دهد، فرض می‌کنیم طی دوازده ساعت پخش شده است. تاج درخت روی زمین مساحت $A_{\mathrm{tree}}=50\,\text{m}^2$ را می‌پوشاند. چگالی آب و گرمای نهان ویژهٔ تبخیر آن در فشار جو برابرند با

\rho_{\mathrm{w}}=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, \qquad L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

جرم آبی را که درخت طی روز تبخیر و تعرق می‌کند و سپس انرژی لازم برای تبخیر آن را محاسبه کنید.
توضیح دهید چرا این فرایند اثر سرمایشی دارد.
توان سرمایشی میانگین درخت به‌ازای هر متر مربع را طی دوازده ساعت تعرق فعال محاسبه کنید.
برای مقایسه، دستگاه تهویهٔ مطبوعی با توان الکتریکی $P_{\mathrm{elec}}=2{,}0\times10^3\,\text{W}$ و ضریب عملکرد $\mathrm{COP}=3{,}0$ اتاقی با مساحت $A_{\mathrm{room}}=20\,\text{m}^2$ را خنک می‌کند. بنا بر تعریف، $\mathrm{COP}=\frac{P_{\mathrm{cool}}}{P_{\mathrm{elec}}},$ که $P_{\mathrm{cool}}$ توان گرمایی خارج‌شده از اتاق است. $P_{\mathrm{cool}}$ و توان سرمایشی به‌ازای هر متر مربع اتاق را محاسبه و با درخت مقایسه کنید.
چرا حتی اگر توان بر واحد سطح آن‌ها هم‌مرتبه باشد نمی‌توان نتیجه گرفت درخت و دستگاه تهویه دقیقاً سرمایش احساس‌شدهٔ یکسانی ایجاد می‌کنند؟
به نظر شما آیا می‌توان با تعداد زیادی گیاه آپارتمانی خانه را خنک کرد؟ (دانش عمومی: پاسخ به فرایندهای زیستی وابسته است.)

راهنمایی

از

m=\rho V

Q_{\mathrm{evap}}=mL_v

P=Q/\tau

استفاده کنید. برای دستگاه تهویه،

P_{\mathrm{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{elec}}

پاسخ تفصیلی

پاسخ

500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3

، پس

m=\rho_{\mathrm{w}}V=1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1}=5{,}0\times10^2\,\text{kg},

Q_{\mathrm{evap}}=mL_v=5{,}0\times10^2\times2{,}45\times10^6=1{,}225\times10^9\,\text{J}.

مرتبهٔ بزرگی آن یک گیگاژول است.

2. تبخیر تغییری گرماگیر است. انرژی $Q_{\mathrm{evap}}$ از برگ‌ها، خاک و هوای اطراف گرفته می‌شود و با کاهش انرژی گرمایی، دمای آن‌ها پایین می‌آید.

3. دوازده ساعت برابر $\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}$ است. بنابراین

P_{\mathrm{tree}}=\frac{Q_{\mathrm{evap}}}{\tau} =\frac{1{,}225\times10^9}{4{,}32\times10^4} \approx2{,}84\times10^4\,\text{W},

و روی $50\,\text{m}^2$ ،

\frac{P_{\mathrm{tree}}}{A_{\mathrm{tree}}}\approx5{,}7\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

P_{\mathrm{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{elec}}=3{,}0\times2{,}0\times10^3=6{,}0\times10^3\,\text{W},

\frac{P_{\mathrm{cool}}}{A_{\mathrm{room}}}=\frac{6{,}0\times10^3}{20}=3{,}0\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

در این مدل، تبخیر و تعرق درخت تقریباً دو برابر یک دستگاه تهویهٔ معمولی توان دارد.

5. این مقایسه تنها جریان‌های انرژی را می‌سنجد. دستگاه تهویه حجمی بسته و کنترل‌شده را خنک می‌کند، اما بخار درخت در جو پخش می‌شود و باد هوای گرم بازمی‌آورد. اثر احساس‌شده به تهویه، رطوبت، دمای محیط و فاصله از درخت وابسته است. تعرق نیز با نور خورشید، باد، رطوبت، گونه و آب در دسترس تغییر می‌کند و در خشکسالی ممکن است بسیار کم شود. از سوی دیگر، درخت سایه هم فراهم می‌کند. پس محاسبه‌ها مقایسهٔ مرتبهٔ بزرگی‌اند، نه برابری دقیق آسایش گرمایی.

6. در عمل اثر سرمایشی گیاهان آپارتمانی بسیار کم است. در بیشتر گیاهان نور روزنه‌های برگ را باز می‌کند تا بخار آب خارج شود؛ نور داخل ساختمان معمولاً کم است و روزنه‌ها کمتر باز می‌شوند. در اتاقی با تهویهٔ کم، افزایش رطوبت نیز تبخیر را به‌تدریج کند می‌کند. تعداد زیادی گیاه شاید سرمایش تبخیری موضعی اندکی ایجاد کنند، اما جای دستگاه تهویه را نمی‌گیرند. برای دفع پیوستهٔ انرژی باید هوای مرطوب به بیرون رانده شود. نور مصنوعی شدید شاید تعرق را بالا ببرد، ولی انرژی الکتریکی آن سرانجام تقریباً به‌طور کامل در اتاق به گرما تبدیل می‌شود. گیاهان CAM سازگار با محیط خشک، مانند کاکتوس‌ها، استثنا هستند: روزنه‌هایشان عمدتاً شب باز می‌شود.