تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

مخلوط‌کردن دو جرم آب

تمرین 3 · درس 2 — تاریخچهٔ ترمودینامیک و کالریمتری

  • گرماسنجی
  • مخلوط
  • ظرفیت گرمایی
  • ظرفیت گرمایی ویژه
  • جوزف بلک
  • دمای تعادل

صورت مسئله

جرم m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg} آب با دمای T1=80 ∘CT_1=80\,{}^\circ\text{C} را در ظرفی می‌ریزیم که از پیش m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg} آب با دمای T2=15 ∘CT_2=15\,{}^\circ\text{C} دارد. ظرف یک گرماسنج ایده‌آل است: اتلاف گرما به بیرون و ظرفیت گرمایی خود ظرف را نادیده می‌گیریم. رابطهٔ

Q=mcΔTQ=mc\Delta T

را به یاد آورید که در آن ظرفیت گرمایی ویژهٔ آب مایع c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} است.

  1. نشان دهید گرمای ازدست‌رفتهٔ آب گرم به‌طور کامل به آب سرد می‌رسد؛ معادلهٔ پایستگی را برحسب m1m_1، m2m_2، cc، T1T_1، T2T_2 و دمای تعادل TeqT_{eq} بنویسید.
  2. عبارت جبری TeqT_{eq} و سپس مقدار عددی آن را بیابید.
  3. گرمای QQ داده‌شده از سوی آب گرم هنگام مخلوط‌شدن را محاسبه کنید.
  4. آیا چنین مخلوطی از یک ماده می‌تواند مقدار cc را تعیین کند؟ توضیح دهید.

راهنمایی
چون گرماسنج عایق و صلب است، انرژی درونی کل U1+U2U_1+U_2 پایسته می‌ماند: گرمایی که یکی می‌دهد با علامت مخالف به دیگری می‌رسد.

پاسخ تفصیلی

پاسخ
1. چون گرماسنج نسبت به بیرون عایق است (دیواره‌های بی‌دررو و صلب دارد)، انرژی درونی کل سامانهٔ آب گرم و آب سرد پایسته است: هر مقدار انرژی که یکی از دست می‌دهد، دیگری دقیقاً دریافت می‌کند. بنابراین Q1,دریافت‌شده=−Q2,دریافت‌شدهQ_{1,\textrm{دریافت‌شده}}=-Q_{2,\textrm{دریافت‌شده}}، یا Q1,دریافت‌شده+Q2,دریافت‌شده=0Q_{1,\textrm{دریافت‌شده}}+Q_{2,\textrm{دریافت‌شده}}=0. با کاربرد قرارداد Q=mcΔTQ=mc\Delta T برای هر جرم آب از حالت آغازین تا تعادل، می‌نویسیم

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. چون هر دو یک ماده‌اند، cc ساده می‌شود:

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,{}^\circ\text{C}.

3.

Q1,واگذارشده=−Q1,دریافت‌شده=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q_{1,\textrm{واگذارشده}}=-Q_{1,\textrm{دریافت‌شده}}=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

آب سرد دقیقاً همین مقدار را می‌گیرد:

Q2,دریافت‌شده=m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.Q_{2,\textrm{دریافت‌شده}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26\approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. خیر. برای دو جرم از یک ماده، همان cc هر دو جملهٔ موازنه را ضرب می‌کند و ساده می‌شود. دمای تعادل اندازه‌گیری‌شده به cc وابسته نیست و تنها میانگین دماهای آغازین با وزن جرم است. برای اندازه‌گیری ظرفیت گرمایی ویژه با روش اختلاط باید ماده‌ای با ظرفیت گرمایی معلوم، مانند تمرین بعدی، وارد کرد.