تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

از یخ سرد تا آب جوشان: مرتبه‌های بزرگی

تمرین 1 · درس 2 — تاریخچهٔ ترمودینامیک و کالریمتری

  • گرماسنجی
  • تغییر فاز
  • ذوب
  • تبخیر
  • گرمای نهان
  • مرتبهٔ بزرگی

صورت مسئله

داده‌های عددی (در فشار جو):

ci=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cw=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\mathrm{i}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\mathrm{w}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

در فشار جو، یک کیلوگرم یخ را که در آغاز دمای −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} دارد به‌تدریج گرم می‌کنیم.

  1. انرژی لازم برای رساندن یخ از −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} به 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} را محاسبه کنید.
  2. انرژی لازم برای ذوب کامل یخ در 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} را محاسبه کنید.
  3. انرژی لازم برای گرم‌کردن آب مایع از 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} تا 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} را محاسبه کنید.
  4. انرژی اضافی لازم برای تبخیر کامل آب در 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} را محاسبه کنید.
  5. کدام مرحله بیشترین انرژی را می‌خواهد؟ انرژی گرم‌کردن یک کیلوگرم آب از 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} تا 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} را با انرژی پتانسیل جرم mm که از ارتفاع ده متر سقوط می‌کند مقایسه کنید. برای برابری این انرژی‌ها چه جرمی باید سقوط کند؟
  6. اکنون فرایند وارون را در نظر بگیرید. جرم mvm_v از بخار آب روی شیشهٔ جلوی خودرو چگالیده می‌شود، بی‌آنکه آب مایع حاصل سپس سردتر شود. گرمای آزادشدهٔ QrelQ_{\mathrm{rel}} در چگالش را بنویسید و آن را برای mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg} محاسبه کنید. در دمای شیشه Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1} بگیرید.

راهنمایی
برای گرم‌کردن یک فاز بدون تغییر فاز از Q=mcΔTQ=mc\Delta T و برای تغییر فاز در دمای ثابت از Q=mLQ=mL استفاده کنید. انرژی پتانسیل گرانشی جرم mm در ارتفاع hh برابر Ep=mghE_p=mgh است؛ g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2} بگیرید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ
1. گرم‌کردن یخ تا دمای ذوب نیازمند

Q1=mciΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 JQ_1=mc_{\mathrm{i}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}

است.

2. هنگام ذوب، دما روی 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} می‌ماند:

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. برای گرم‌کردن آب مایع از 00 تا 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}،

Q3=mcwΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\mathrm{w}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. تبخیر کامل به

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 JQ_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6=2{,}26\times10^6\,\text{J}

دیگر نیاز دارد. همین مرحله به‌تنهایی انرژی‌ای در حد چند مگاژول می‌خواهد.

5. تبخیر با فاصلهٔ زیاد پرهزینه‌ترین مرحله است:

Q4=2,26×106 J>Q3=4,18×105 J>Q2=3,34×105 J>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

تبخیر تقریباً (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 برابر گرم‌کردن آب مایع از 00 تا 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} انرژی می‌خواهد.

برای جرم mm که از h=10 mh=10\,\text{m} سقوط می‌کند، Ep=mghE_p=mgh است. با قرار دادن mgh=Q3mgh=Q_3،

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

پس باید جرمی در حدود 4,34{,}3 تن را از ارتفاع ده متر رها کرد تا به‌اندازهٔ گرم‌کردن یک کیلوگرم آب از 00 تا 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} انرژی آزاد شود! ازاین‌رو گرم‌کردن آب سهم مهمی از مصرف انرژی خانگی دارد. ظرفیت گرمایی ویژهٔ آب نیز در قیاس با فلزهای معمول بسیار زیاد است؛ برای نمونه تقریباً ده برابر مس (تمرین‌های بعدی را ببینید).

6. چگالش وارون تبخیر است: بخار گرمای نهان را به شیشه می‌دهد،

Qrel=mvLv.Q_{\mathrm{rel}}=m_vL_v.

برای mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}،

Qrel=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\mathrm{rel}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

بنابراین چگالش جرم اندکی بخار نیز می‌تواند گرمای چشمگیری آزاد کند. شیشه و محیط پیرامونش این گرما را می‌گیرند.