تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

بررسی یک رابطهٔ ماکسول روی یک بی‌دررو

تمرین 35 · درس 7 — ساختار ریاضی: روابط بنیادین

صورت مسئله

برای سامانه‌ای بسته با ترکیب ثابت،

d U = T d S - P d V .

گازی ایده‌آل با ظرفیت گرمایی مولی ثابت $c_{V}$ را در نظر می‌گیریم و می‌نویسیم $γ = c_{P} / c_{V}$ ، با $c_{P} - c_{V} = R$ .

از دیفرانسیل $U (S, V)$ رابطهٔ ماکسول زیر را نتیجه بگیرید: $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
طرف چپ را از روی $T V^{γ - 1} = const$ حساب کنید.
طرف راست را جداگانه، با استفاده از $P = n R T / V$ و $d S = n c_{V} d T / T$ در حجم ثابت، حساب کنید.
بررسی کنید که دو نتیجه بر هم منطبق‌اند.

راهنمایی

در پرسش 1،

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

را تشخیص دهید و سپس ترتیب مشتق‌گیری‌ها را جابه‌جا کنید.

پاسخ

1. متغیرهای طبیعی

U

S

V

هستند. بنابراین

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

چون مشتق‌های متقاطع $U$ برابرند،

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. روی یک بی‌درروی برگشت‌پذیر، $T V^{γ - 1} = K$ . با دیفرانسیل‌گیری در آنتروپی ثابت،

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

پس از تقسیم بر $V^{γ - 1} d V$ ،

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. در حجم ثابت، $P = n R T / V$ ، پس

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

از سوی دیگر در حجم ثابت $d S = n c_{V} d T / T$ ، و از آنجا $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . بنابراین

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. رابطهٔ مایر می‌دهد $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . پس طرف راست برابر $- (γ - 1) T / V$ است، درست مانند طرف چپ.