گیبس–دوهم و پتانسیل شیمیایی گاز ایده‌آل

1. دیفرانسیل رابطهٔ اویلر چنین است:

$$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+S\mathrm{d}T-P\mathrm{d}V-V\mathrm{d}P+\mu \mathrm{d}n+n\mathrm{d}\mu .$$

با کم‌کردن رابطهٔ بنیادی، جمله‌های شامل $\mathrm{d}S$، $\mathrm{d}V$ و $\mathrm{d}n$ حذف می‌شوند. باقی می‌ماند

$$S\mathrm{d}T-V\mathrm{d}P+n\mathrm{d}\mu =0.$$

2. این برابری را بر $n$ تقسیم می‌کنیم:

$$s\mathrm{d}T-v\mathrm{d}P+\mathrm{d}\mu =0,$$

یعنی $\mathrm{d}\mu =-s\mathrm{d}T+v\mathrm{d}P$.

3. در دمای ثابت، $\mathrm{d}T=0$. برای گاز ایده‌آل،

$$\mathrm{d}\mu =v\mathrm{d}P=\frac{RT}{P}\mathrm{d}P.$$

با انتگرال‌گیری میان حدهای صریح،

$$\mu (T,P_2)-\mu (T,P_1)=RT{\int }_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P}=RT\ln \left(\frac{P_2}{P_1}\right).$$

4. اگر $P_2>P_1$، آنگاه $P_2/P_1>1$ و $\ln (P_2/P_1)>0$. چون $R>0$ و $T>0$،

$$\mu (T,P_2)-\mu (T,P_1)>0.$$

بنابراین تراکم هم‌دمای گاز پتانسیل شیمیایی آن را افزایش می‌دهد. اگر دو ناحیه با دمای یکسان بتوانند ماده مبادله کنند، انتقال خودبه‌خودی از ناحیهٔ با پتانسیل شیمیایی بالا به ناحیهٔ با پتانسیل شیمیایی پایین رخ می‌دهد، تا وقتی که دو پتانسیل برابر شوند.