تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

انبساط هم‌آنتروپی و بازسازی یک رابطهٔ بنیادی

تمرین 38 · درس 7 — ساختار ریاضی: روابط بنیادین

رابطهٔ بنیادی
انبساط هم‌آنتروپی
معادله‌های حالت
نمایش آنتروپی
شرط انتگرال‌پذیری
کمیت‌های مولی

صورت مسئله

بخش A. سامانه‌ای با رابطهٔ بنیادی مولی زیر توصیف می‌شود:

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

که در آن $u$ ، $v$ و $s$ انرژی درونی، حجم و آنتروپی مولی‌اند، $A > 0$ ثابت است و $R$ ثابت گازها. حالت آغازین با دمای $T_{0}$ و فشار $P_{0}$ مشخص می‌شود.

$T$ و $P$ را برحسب $u$ و $v$ بنویسید. معادلهٔ حالتی را که $P$ ، $v$ و $T$ را به هم مربوط می‌کند نتیجه بگیرید.
سامانه را در یک انبساط هم‌آنتروپی تا جایی پیش می‌بریم که فشارش هشت برابر کاهش یابد. دمای نهایی را تنها برحسب $T_{0}$ بنویسید.

بخش B. سامانهٔ دیگری با مقدار مادهٔ ثابت از دو معادلهٔ حالت زیر پیروی می‌کند:

U = 2 P V, P = B T^{3},

که در آن $B > 0$ ثابت است.

$1/ T$ و $P / T$ را برحسب $U$ و $V$ بنویسید.
یک رابطهٔ بنیادی $S (U, V)$ تنها هنگامی می‌تواند وجود داشته باشد که مشتق‌های متقاطع برابر باشند: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . این شرط را بررسی کنید.
رابطهٔ بنیادی $S (U, V)$ را با تقریب یک ثابت تعیین کنید. بررسی کنید که به‌راستی دو معادلهٔ حالت را دوباره می‌دهد و سپس اینکه گسترده است.

راهنمایی

بخش A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

؛ در امتداد یک هم‌آنتروپی،

s

ثابت است و همه چیز برحسب

v

بیان می‌شود. بخش B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. ابتدا

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

را در

V

ثابت انتگرال بگیرید و تابعی

f (V)

بیفزایید، سپس

f

را به کمک

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

تعیین کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. در

v

ثابت، مشتق

e^{s / (3 R)}

نسبت به

s

برابر

e^{s / (3 R)} / (3 R)

است، پس

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

در $s$ ثابت، مشتق $v^{- 1/2}$ برابر $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ است، پس

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

رابطهٔ نخست می‌دهد $u = 3 R T$ . با جای‌گذاری آن در دومی،

P = \frac{3 R T}{2 v}, یعنی P v = \frac{3}{2} R T .

پرسش 2. در امتداد هم‌آنتروپی، $s$ ثابت است، پس $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ با $v^{- 1/2}$ متناسب است. نتیجه می‌شود

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

هشت برابر کاهش فشار ایجاب می‌کند

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

چون دما با $v^{- 1/2}$ متناسب است،

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

پرسش 3. دو معادلهٔ حالت می‌دهند $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ ، و از آنجا

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

از سوی دیگر $P / T = B T^{2}$ ، و با جای‌گذاری $T$ ،

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

پرسش 4. از $1/ T$ نسبت به $V$ ، در $U$ ثابت، مشتق می‌گیریم:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

از $P / T$ نسبت به $U$ ، در $V$ ثابت، مشتق می‌گیریم:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

چون $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ ، نتیجهٔ نخست را می‌توان به صورت $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ نیز نوشت: دو مشتق متقاطع برابرند. بنابراین صورت $(1/ T) d U + (P / T) d V$ می‌تواند دیفرانسیل تابعی مانند $S (U, V)$ باشد. دو معادلهٔ حالت که تصادفی انتخاب شوند، در حالت کلی در این شرط صدق نمی‌کنند.

پرسش 5. در

V

ثابت، از

1/ T

نسبت به

U

انتگرال می‌گیریم. یک پادمشتق

U^{- 1/3}

برابر

\frac{3}{2} U^{2/3}

است، پس

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

که در آن $f$ تنها تابعی از $V$ است. نسبت به $V$ مشتق می‌گیریم:

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

اما $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : جملهٔ نخست دقیقاً همان $P / T$ است. پس باید $f^{'} (V) = 0$ باشد، یعنی $f$ ثابت باشد، و

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

به‌عکس، مشتق‌های این تابع $1/ T$ و $P / T$ پرسش 3 و بنابراین دو معادلهٔ حالت آغازین را دوباره می‌دهند. سرانجام، با ضرب $U$ و $V$ در $λ$ ، حاصل‌ضرب $V U^{2}$ در $λ^{3}$ و ریشهٔ سوم آن در $λ$ ضرب می‌شود: با صرف‌نظر از ثابت جمعی، $S$ همگن از درجهٔ یک و بنابراین گسترده است.