تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

گاز فوتونی در کیهان

تمرین 39 · درس 7 — ساختار ریاضی: روابط بنیادین

گاز فوتونی
تابش
تابش زمینهٔ کیهانی
رابطهٔ بنیادی
انبساط بی‌دررو
تابع همگن
پتانسیل شیمیایی صفر

صورت مسئله

در نخستین لحظه‌های کیهان، ماده پلاسمایی داغ از هسته‌ها، الکترون‌ها و فوتون‌هاست. در حدود $T_{i} \approx 3000 K$ ، نخستین اتم‌ها شکل می‌گیرند و فوتون‌ها آزاد می‌شوند. فرض می‌کنیم که در این لحظه گاز فوتونی در دمای $T_{i}$ در تعادل است و سپس، هم‌زمان با انبساط کیهان، انبساطی بی‌دررو و برگشت‌پذیر را از سر می‌گذراند. رابطهٔ بنیادی آن را می‌پذیریم:

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

که در آن $a$ ثابتی مثبت و دارای بُعد است. آنتروپی به تعداد $N$ فوتون‌ها وابسته نیست: این تعداد پایسته نیست.

تعریف تابع همگن از درجهٔ یک را یادآوری کنید و نشان دهید $S$ چنین تابعی است.
شکل کلی $S$ را برحسب $U$ در $V$ ثابت رسم کنید. آیا این تابع مقعر است؟ بحث کنید.
$T$ ، $P$ و $μ$ را از روی مشتق‌های $S$ تعیین کنید. به‌ویژه نشان دهید $U = a^{4} V T^{4}$ و $P = U / (3 V)$ ، و سپس دربارهٔ مقدار $μ$ بحث کنید.
اصل اول را برای این گاز بنویسید و آن را برای یک انبساط بی‌دررو و برگشت‌پذیر به کار ببرید. رابطه‌ای میان $U$ و $V$ در امتداد این تحول نتیجه بگیرید.
نتیجه بگیرید که $V T^{3}$ در طول انبساط ثابت می‌ماند.
این نتیجه را مستقیماً، از روی آنتروپی بیان‌شده برحسب $T$ و $V$ ، دوباره به دست آورید.
گاز فوتونی امروز در $T_{f} \approx 3 K$ مشاهده می‌شود: این همان تابش زمینهٔ کیهانی است. حجم کیهان از زمان گسیل با چه ضریبی بزرگ شده است؟

راهنمایی

در نمایش آنتروپی،

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. در پرسش 4، یک تحول بی‌دررو و برگشت‌پذیر در

d S = 0

صدق می‌کند، پس

d U = - P d V

: متغیرها را جدا کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. تابع

f

از چند متغیر همگن از درجهٔ یک است اگر برای هر

λ > 0

داشته باشیم

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

. در اینجا

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

بنابراین آنتروپی گاز فوتونی گسترده است.

پرسش 2. در

V

ثابت،

S

با

U^{3/4}

متناسب است. مشتق اول آن،

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

مثبت است: $S$ با $U$ افزایش می‌یابد و دما مثبت است. مشتق دوم آن،

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

منفی است: $S$ نسبت به $U$ مقعر است. منحنی از مبدأ با مماسی قائم آغاز می‌شود و سپس خم می‌شود و همواره بالای وترهای خود می‌ماند. این تقعر بیانگر پایداری تعادل گاز فوتونی است.

پرسش 3. بنا بر پرسش 2،

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

مشتق نسبت به $V$ ، در $U$ ثابت، برابر است با

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

اما $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ ، پس

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

سرانجام، $S$ به $N$ وابسته نیست، پس $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . پتانسیل شیمیایی فوتون‌ها صفر است: چون تعدادشان پایسته نیست، در تعادل آزادانه تنظیم می‌شود و افزودن یک فوتون هیچ هزینه‌ای ندارد.

پرسش 4. چون جملهٔ

μ d N

صفر است، رابطهٔ بنیادی دیفرانسیلی به صورت

d U = T d S - P d V

نوشته می‌شود. برای انبساط بی‌دررو و برگشت‌پذیر،

d S = 0

، پس با

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

با انتگرال‌گیری میان حالت آغازین و حالتی دلخواه در طول انبساط، $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ ، یعنی

U V^{1/3} = const .

پرسش 5. $U$ را با $a^{4} V T^{4}$ جایگزین می‌کنیم:

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

چون $a$ ثابت است، $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ ثابت است، پس $V^{1/3} T$ نیز ثابت است؛ با رساندن به توان سه، $V T^{3} = const$ .

پرسش 6.

S

را برحسب

T

V

بیان می‌کنیم و در آن

U

را با

a^{4} V T^{4}

جایگزین می‌کنیم:

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

انبساط بی‌دررو و برگشت‌پذیر هم‌آنتروپی است: $S$ ثابت است، پس $V T^{3}$ نیز ثابت است. نتیجهٔ پرسش 5 مستقیماً دوباره به دست می‌آید.

پرسش 7. چون

V T^{3}

پایسته است،

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

حجم کیهان از زمان گسیل یک میلیارد برابر شده است که با ضریب $1 0^{3}$ در فاصله‌ها متناظر است. تابشی که در حدود $3000 K$ گسیل شد و با انبساط سرد شده است، همان تابش زمینهٔ کیهانی است که امروز در $2, 7 K$ اندازه‌گیری می‌شود.