تغییر اندازهٔ یک دستگاه

یک دستگاه همگن معمولی جرم $m$، حجم $V$، تعداد ذرات $N$، انرژی درونی $U$، دمای $T$ و فشار $P$ دارد. در اینجا $U$ را گسترده فرض می‌کنیم و از برهم‌کنش‌های دوربرد و اثرهای لبه چشم می‌پوشیم. اندازهٔ دستگاه را در حالت شدتیِ ثابت تغییر می‌دهیم: $(m,V,N,U)\mapsto (\lambda m,\lambda V,\lambda N,\lambda U)$، با $\lambda >0$، در حالی که $T$ و $P$ بدون تغییر می‌مانند.

1. درجهٔ همگنی $m/V$، $V/N$، $U/N$، $PV$، $U^2/V$ و $V^{1/3}$ را تعیین کنید. کدام کمیت‌ها گسترده‌اند، کدام شدتی، و کدام هیچ‌کدام؟
2. دو عبارت برای یک انرژی پیشنهاد می‌شود: $U_1=aN{k}_{\mathrm{B}}T$ و $U_2=a{N}^2{k}_{\mathrm{B}}T$، که در آن‌ها $a>0$ بی‌بعد و مستقل از اندازهٔ دستگاه است. ابعاد آن‌ها را بررسی کنید، سپس تعیین کنید کدام با فرض گستردگی سازگار است. یادآوری کنید چرا این دو بررسی از هم متمایزند.
3. برای کره‌ای به شعاع $R$، مساحت $A$ را برحسب حجم $V$ بیان کنید. درجه‌های همگنی $A$ و $A/V$ را هنگامی که یک کرهٔ منفرد را در چگالی ثابت بزرگ می‌کنیم تعیین کنید.
4. مساحت کره‌ای به حجم $8V$ را با مساحت کل هشت کرهٔ جدا از هم، هر یک به حجم $V$، مقایسه کنید. توضیح دهید چرا «بزرگ کردن یک جسم» و «کنار هم گذاشتن نسخه‌هایی از آن» برای مساحت فصل‌مشترک‌هایش نتیجهٔ یکسانی نمی‌دهند.