تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

شمارش متغیرهای مستقل

تمرین 8 · درس 3 — مفاهیم بنیادین

معادلهٔ حالت
درجه‌های آزادی
قیدها
مختصات حالت

صورت مسئله

حالت‌های تعادل یک گاز ایده‌آل را با چهار متغیر مثبت $(P, V, T, n)$ توصیف می‌کنیم که با $P V = n R T$ به هم مربوط‌اند. بُعد $d = q - r$ مجموعهٔ حالت‌های دسترس‌پذیر را می‌جوییم، که در آن $q$ تعداد متغیرهای به‌کاررفته و $r$ تعداد رابطه‌های مستقل است.

$q$ ، $r$ و $d$ را در حالتی که $n$ می‌تواند تغییر کند تعیین کنید. سه مختصهٔ مستقل پیشنهاد کنید و متغیر چهارم را بیان کنید.
شمارش را برای مقدار مادهٔ ثابت $n = n_{0}$ تکرار کنید، سپس برای حالتی که $T = T_{0}$ نیز تحمیل شود، و سرانجام $V = V_{0}$ . در هر مرحله، مجموعه‌ای از مختصات برای حالت‌های دسترس‌پذیر پیشنهاد کنید.
دانشجویی رابطهٔ $P = n R T / V$ را به $P V = n R T$ می‌افزاید و دو معادلهٔ حالت می‌شمارد. خطای او را توضیح دهید.
دو گاز ایده‌آل با مقادیر مادهٔ ثابت $n_{1}, n_{2}$ دو بخش یک محفظه به حجم کل $V_{tot}$ را اشغال کرده‌اند. پیستونی دیاترمی که بدون اصطکاک و بدون نیروی خارجی حرکت می‌کند آن‌ها را از هم جدا می‌کند. دمای مشترک را ثابت نمی‌گیریم. در تعادل، رابطه‌های مستقل میان $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ را بشمارید. حجم‌ها و فشار مشترک را برحسب یک مختصهٔ باقی‌مانده بیان کنید.

راهنمایی

برای سه شمارش پرسش 2، چهار متغیر آغازین را نگه دارید و در هر مرحله یک قید بیفزایید. برای پیستون، از دو معادلهٔ حالت، حجم کل، تعادل گرمایی و تعادل مکانیکی استفاده کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1.

q = 4

متغیر و یک رابطهٔ مستقل به کار می‌بریم، یعنی

r = 1

d = 3

. می‌توان

(V, T, n)

را برگزید: در این صورت متغیر باقی‌مانده

P = n R T / V

است. شرط

V > 0

این تقسیم را مجاز می‌کند. پرسش 2. برای گاز بسته، رابطه‌ها

P V = n R T

n = n_{0}

هستند، پس

r = 2

d = 4 - 2 = 2

. زوج

(V, T)

مناسب است، با

P = n_{0} R T / V

. اگر از همان آغاز

n

را از فهرست متغیرها حذف می‌کردیم، باز هم

q = 3

r = 1

و در نتیجه همان

d = 2

را داشتیم. قید اضافی

T = T_{0}

مقدار

r

را به

3

می‌رساند و

d = 1

را می‌دهد. حجم

V

برای پارامتربندی حالت‌ها کافی است، زیرا

P = n_{0} R T_{0} / V

. سرانجام، تحمیل

V = V_{0}

مقدار

r

را به

4

می‌رساند و

d = 0

را می‌دهد: تنها یک حالت یکتا باقی می‌ماند، در

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. این مجموعهٔ آخر به هیچ مختصهٔ آزادی نیاز ندارد. این قیدها مجموعهٔ دسترس‌پذیر را کوچک می‌کنند، نه تعداد متغیرهای لازم برای توصیف گاز بدون قید را. پرسش 3. چون

V > 0

، صورت دوم از تقسیم صورت نخست بر

V

به دست می‌آید. هر حالتی که یکی را برآورده کند، خودبه‌خود دیگری را نیز برآورده می‌کند. بنابراین رابطهٔ دوم هیچ حالت دیگری را کنار نمی‌گذارد و

r

را افزایش نمی‌دهد. باید قیدهای مستقل را شمرد، نه سطرهای معادلات را. پرسش 4. شش متغیر پنج رابطهٔ زیر را برآورده می‌کنند:

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

قرار می‌دهیم $T = T_{1} = T_{2}$ و $P = P_{1} = P_{2}$ . جمع دو معادلهٔ حالت به دست می‌دهد

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

با جای‌گذاری در هر معادلهٔ حالت،

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

ضریب $R T$ در حجم‌ها ساده می‌شود، اما در فشار نه. دمای $T > 0$ آزاد می‌ماند و همهٔ متغیرهای دیگر را تعیین می‌کند: پنج رابطه به‌راستی مستقل‌اند و $d = 6 - 5 = 1$ . یک دادهٔ انرژیِ اضافی می‌توانست حالت خاصی را برگزیند؛ اما در اینجا چنین داده‌ای تحمیل نشده است.