تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

انتگرال‌گیری از یک صورت دیفرانسیلی در امتداد مسیر

تمرین 6 · درس 4 — قانون اول ترمودینامیک

  • صورت دیفرانسیلی، دیفرانسیل کامل، معیار شوارتس، انتگرال خطی

نسخهٔ کاری — این تمرین هنوز در حال بازبینی است.

صورت مسئله

دو صورت دیفرانسیلی زیر را در نظر می‌گیریم:

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

همچنین سه مسیر که مبدأ O(0,0)O(0,0) را به نقطهٔ M(1,1)M(1,1) وصل می‌کنند: مسیر γ1\gamma_1 از پاره‌خط افقی O→(1,0)O\to(1,0) و سپس پاره‌خط عمودی (1,0)→M(1,0)\to M تشکیل شده است؛ مسیر γ2\gamma_2 از پاره‌خط عمودی O→(0,1)O\to(0,1) و سپس پاره‌خط افقی (0,1)→M(0,1)\to M؛ و مسیر γ3\gamma_3 پاره‌خط مستقیمی است که OO را مستقیماً به MM وصل می‌کند.

  1. با یافتن تابعی مانند ff که ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f باشد، نشان دهید ω1\omega_1 کامل است.
  2. با پارامتری‌کردن هر پاره‌خط، ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 و ∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 را حساب کنید. نتیجه را بدون محاسبه نیز به دست آورید.
  3. معیار شوارتس را بر ω2\omega_2 اعمال کنید. چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟
  4. ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2، ∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 و ∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2 را حساب و تفسیر کنید.

راهنمایی
روی پاره‌خط افقی dy=0\mathrm{d}y=0 و روی پاره‌خط عمودی dx=0\mathrm{d}x=0 است؛ پس هر انتگرال به یک انتگرال ساده فروکاسته می‌شود.

پاسخ تفصیلی

پاسخ
پرسش 1. تابع f(x,y)=xyf(x,y)=xy مناسب است، زیرا ∂f/∂x=y\partial f/\partial x=y و ∂f/∂y=x\partial f/\partial y=x.

پرسش 2. برای منحنی پارامتری t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr) داریم

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)] dt.\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

مسیر γ1\gamma_1 اجتماع دو پاره‌خط است. روی نخستین، برای t∈[0,1]t\in[0,1]، x(t)=tx(t)=t و y(t)=0y(t)=0؛ پس dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t و dy=0\mathrm{d}y=0. روی دومی نیز برای t∈[0,1]t\in[0,1]، x(t)=1x(t)=1 و y(t)=ty(t)=t؛ پس dx=0\mathrm{d}x=0 و dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. بنابراین

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

برای γ2\gamma_2، پاره‌خط نخست با x(t)=0x(t)=0 و y(t)=ty(t)=t و دومی با x(t)=tx(t)=t و y(t)=1y(t)=1 پارامتری می‌شوند؛ در هر دو حالت t∈[0,1]t\in[0,1]. پس

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

دو مقدار برابرند. بدون محاسبه نیز می‌شد آن را پیش‌بینی کرد: چون ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f با f(x,y)=xyf(x,y)=xy، انتگرال فقط به نقاط ابتدا و انتها بستگی دارد،

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

پرسش 3. می‌نویسیم ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y. اینجا A(x,y)=yA(x,y)=y و B(x,y)=0B(x,y)=0. اگر صورت کامل بود، معیار شوارتس می‌داد

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

اما ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1، درحالی‌که ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0 است. مشتق‌های متقاطع متفاوت‌اند؛ پس ω2\omega_2 کامل نیست. انتگرال آن می‌تواند به مسیر پیموده‌شده میان OO و MM وابسته باشد، چنان‌که محاسبهٔ بعدی نشان می‌دهد.

پرسش 4. چون ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x، تنها تغییر xx در مقداری غیرصفر از yy می‌تواند در انتگرال سهم داشته باشد. با پارامتری‌سازی‌های پیشین، روی γ1\gamma_1 داریم

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}

روی پاره‌خط نخست γ2\gamma_2، x(t)=0x(t)=0 و بنابراین dx=0\mathrm{d}x=0؛ روی دومی، x(t)=tx(t)=t، y(t)=1y(t)=1 و dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t. ازاین‌رو

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}

سرانجام پاره‌خط قطری γ3\gamma_3 آشکارا چنین پارامتری می‌شود:

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

پس dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t و dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. نتیجه می‌شود

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.

سه مسیر ابتدا و انتهای یکسان دارند، اما سه مقدار متفاوت می‌دهند: J1=0J_1=0، J2=1J_2=1 و J3=1/2J_3=1/2. این دقیقاً وابستگی به مسیرِ مشخصهٔ یک صورت دیفرانسیلی ناکامل است.