تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

تعیین ظرفیت گرمایی ویژهٔ فلز با روش اختلاط

تمرین 4 · درس 2 — تاریخچهٔ ترمودینامیک و کالریمتری

  • گرماسنجی
  • روش اختلاط
  • ظرفیت گرمایی ویژه
  • گرماسنج
  • گرمای ویژه
  • معادل آبی

صورت مسئله

می‌خواهیم مانند جوزف بلک در سدهٔ XVIIIe، ظرفیت گرمایی ویژهٔ cmc_m یک فلز ناشناخته را با روش اختلاط اندازه بگیریم. نمونه‌ای با جرم m=0,150 kgm=0{,}150\,\text{kg} را تا Tm=95 ∘CT_m=95\,{}^\circ\text{C} گرم و سریع در گرماسنجی فرو می‌بریم که me=0,250 kgm_e=0{,}250\,\text{kg} آب در Te=18 ∘CT_e=18\,{}^\circ\text{C} دارد؛ ce=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c_e=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}. پس از رسیدن به تعادل گرمایی، Teq=22 ∘CT_{eq}=22\,{}^\circ\text{C} اندازه‌گیری می‌شود. ابتدا ظرفیت گرمایی خود ظرف گرماسنج (دیواره‌ها، همزن و دماسنج) را نادیده بگیرید.

  1. مانند تمرین پیشین، پایستگی انرژی سامانهٔ عایق فلز و آب را طوری بنویسید که cmc_m تنها مجهول باشد.
  2. عبارت جبری و مقدار عددی cmc_m را بیابید. این مقدار تقریباً با کدام فلز معمول سازگار است؟ مقدارهای مرجع: آلومینیوم ≈9,0×102 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1\approx9{,}0\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}، آهن ≈4,5×102\approx4{,}5\times10^2، مس ≈3,9×102\approx3{,}9\times10^2، سرب ≈1,3×102\approx1{,}3\times10^2.
  3. در واقع خود ظرف نیز بخشی از گرمای فلز را می‌گیرد. این اثر را با معادل آبی μ=1,5×10−2 kg\mu=1{,}5\times10^{-2}\,\text{kg} مدل می‌کنیم: گرماسنج چنان رفتار می‌کند که گویی جرم اضافی μ\mu از آب است. cmc_m را با درنظرگرفتن μ\mu دوباره حساب کنید و جهت تصحیح را توضیح دهید (آیا cmc_m تصحیح‌شده از پاسخ ۲ بزرگ‌تر است یا کوچک‌تر؟).
  4. چرا از نظر تجربی لازم است نمونه را سریع در گرماسنج فرو ببریم و هنگام اندازه‌گیری آن را از هوای محیط به‌خوبی عایق گرمایی کنیم؟

راهنمایی
فلز گرمای Qm=mcm(Tm−Teq)Q_m=mc_m(T_m-T_{eq}) را می‌دهد که به‌طور کامل به آب (و در پرسش ۳ به گرماسنجِ معادل جرم اضافی μ\mu آب) می‌رسد: Qm=(me+μ)ce(Teq−Te)Q_m=(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e).

پاسخ تفصیلی

پاسخ
1. در سامانهٔ عایق، گرمایی که فلز با سردشدن از TmT_m تا TeqT_{eq} می‌دهد به‌طور کامل به آبی می‌رسد که از TeT_e تا TeqT_{eq} گرم می‌شود:

mcm(Tm−Teq)=mece(Teq−Te).mc_m(T_m-T_{eq})=m_ec_e(T_{eq}-T_e).

2.

cm=mece(Teq−Te)m(Tm−Teq)=0,250×4,18×103×(22−18)0,150×(95−22)≈3,82×102 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1.c_m=\frac{m_ec_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{0{,}250\times4{,}18\times10^3\times(22-18)}{0{,}150\times(95-22)} \approx3{,}82\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

این مقدار به مقدار مس (≈3,9×102 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1\approx3{,}9\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}) بسیار نزدیک است.

3. اکنون آب و ظرف با هم گرما را می‌گیرند:

cm=(me+μ)ce(Teq−Te)m(Tm−Teq)=(0,250+0,015)×4,18×103×40,150×73≈4,05×102 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1.c_m=\frac{(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{(0{,}250+0{,}015)\times4{,}18\times10^3\times4}{0{,}150\times73} \approx4{,}05\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

تصحیح cmc_m را اندکی افزایش می‌دهد. با نادیده‌گرفتن معادل آبی در پرسش ۲، گرمای واقعی داده‌شده از سوی فلز—که بخشی از آن ظرف را گرم کرده بود—و در نتیجه cmc_m را کمتر برآورد کرده بودیم.

4. روش بر فرض عایق‌بودن سامانه هنگام اندازه‌گیری استوار است. فروبردن سریع نمونه زمان تبادل گرما با هوا پیش از رسیدن به آب را کم می‌کند؛ عایق‌کردن خوب نیز اتلاف به بیرون را هنگام برقراری تعادل کاهش می‌دهد. هر نشت گرمایی حساب‌نشده موازنهٔ پرسش ۱ و مقدار cmc_m حاصل را نادرست می‌کند. بلک و سپس لاووازیه و لاپلاس نیز در گرماسنج یخی خود همین دقت تجربی را به کار می‌بردند.