Ejercicio resuelto de termodinámica

Trabajo y calor entre dos estados por dos caminos

Ejercicio 19 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

trabajo de las fuerzas de presión
calor
isoterma
isócora
diagrama de Clapeyron
diferencial exacta
gas ideal

Enunciado

Se consideran $n$ moles de gas ideal monoatómico, cuya energía interna es $U = \frac{3}{2} n R T$ . Se conecta el estado $A (T_{1}, V_{1})$ con el estado $B (T_{2}, V_{2})$ mediante dos caminos cuasiestáticos, con $P_{ext} = P$ en todo instante:

$Γ_{1}$ : una expansión isoterma a $T_{1}$ , de $V_{1}$ a $V_{2}$ , seguida de una transformación isócora a $V_{2}$ , de $T_{1}$ a $T_{2}$ ;
$Γ_{2}$ : una transformación isócora a $V_{1}$ , de $T_{1}$ a $T_{2}$ , seguida de una expansión isoterma a $T_{2}$ , de $V_{1}$ a $V_{2}$ .

En el caso $T_{2} > T_{1}$ y $V_{2} > V_{1}$ , representar los caminos $Γ_{1}$ y $Γ_{2}$ en el diagrama de Clapeyron $(P, V)$ . Indicar los estados intermedios y el sentido del recorrido.
Calcular el trabajo recibido $W_{1}$ y $W_{2}$ a lo largo de cada uno de los dos caminos. ¿Cuánto vale su diferencia $W_{1} - W_{2}$ ?
Sin volver a calcular por separado las dos integrales, obtener geométricamente $W_{1} - W_{2}$ a partir del área comprendida entre los dos caminos en el diagrama de Clapeyron.
Calcular $Δ U$ a lo largo de cada uno de los dos caminos y deducir $Q_{1}$ y $Q_{2}$ . Concluir sobre la naturaleza de $δ Q$ .
Aplicación numérica: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K y $V_{2} = 2 V_{1}$ .

Pista

En el diagrama de Clapeyron, una isócora es vertical y una isoterma de un gas ideal verifica

P = n R T / V

. La isoterma de temperatura

T_{2}

está situada por encima de la de temperatura

T_{1}

. Una isócora no contribuye al trabajo de las fuerzas de presión. Para la pregunta 3, el trabajo recibido es el opuesto del área algebraica situada bajo el camino en el diagrama

(P, V)

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. Denotemos por

C

el estado intermedio del camino

Γ_{1}

y por

D

el del camino

Γ_{2}

. Sus presiones y volúmenes son

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

Como $T_{2} > T_{1}$ , la isoterma $T_{2}$ está por encima de la isoterma $T_{1}$ . El camino $Γ_{1}$ se traza de $A$ a $C$ , hacia la derecha a lo largo de la isoterma inferior $T_{1}$ , y después verticalmente de $C$ a $B$ a lo largo de la isócora $V_{2}$ . El camino $Γ_{2}$ asciende primero verticalmente de $A$ a $D$ a lo largo de la isócora $V_{1}$ , y después se dirige hacia la derecha de $D$ a $B$ a lo largo de la isoterma superior $T_{2}$ . Las flechas de los dos caminos son por tanto

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

Los caminos _1 y _2 en el diagrama de Clapeyron. Las curvas grises prolongan las isotermas T_1 y T_2. — Figura 1. Los caminos $Γ_{1}$ y $Γ_{2}$ en el diagrama de Clapeyron. Las curvas grises prolongan las isotermas $T_{1}$ y $T_{2}$ .

Pregunta 2. Con el convenio del trabajo recibido por el gas, $δ W = - P d V$ . Una isócora no contribuye y, en una isoterma a la temperatura $T$ ,

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Se obtiene por tanto

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

y después

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Los estados inicial y final son idénticos, pero los trabajos difieren: $δ W$ no es una diferencial exacta.

Pregunta 3. Las isócoras no barren área alguna. Como el trabajo recibido es el opuesto del área bajo la curva, la diferencia

W_{1} - W_{2}

es el área comprendida entre las isotermas

T_{2}

T_{1}

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

Se obtiene de nuevo el resultado de la pregunta 2.

Pregunta 4. La energía interna del gas ideal monoatómico solo depende de la temperatura. Su variación es, por tanto, la misma en los dos caminos:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

El primer principio, $Δ U = W + Q$ , da $Q = Δ U - W$ , de donde

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Así,

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

El calor intercambiado también depende del camino: $δ Q$ no es una diferencial exacta, al contrario que $d U$ .

Pregunta 5. Con

ln 2 ≃ 0, 693

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

El gas proporciona el doble de trabajo durante $Γ_{2}$ y recibe el calor adicional correspondiente.

Enunciado

Indicación

Solución detallada