Ejercicio resuelto de termodinámica

Trabajo y calor entre dos estados por dos caminos

Ejercicio 11 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

  • trabajo de las fuerzas de presión
  • calor
  • isoterma
  • isócora
  • diagrama de Clapeyron
  • diferencial exacta
  • gas ideal

Enunciado

Se consideran nn moles de gas ideal monoatómico, cuya energía interna es U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT. Se conecta el estado A(T1,V1)A(T_1,V_1) con el estado B(T2,V2)B(T_2,V_2) mediante dos caminos cuasiestáticos, con Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P en todo instante:

  • Γ1\Gamma_1: una expansión isoterma a T1T_1, de V1V_1 a V2V_2, seguida de una transformación isócora a V2V_2, de T1T_1 a T2T_2;
  • Γ2\Gamma_2: una transformación isócora a V1V_1, de T1T_1 a T2T_2, seguida de una expansión isoterma a T2T_2, de V1V_1 a V2V_2.

  1. En el caso T2>T1T_2>T_1 y V2>V1V_2>V_1, representar los caminos Γ1\Gamma_1 y Γ2\Gamma_2 en el diagrama de Clapeyron (P,V)(P,V). Indicar los estados intermedios y el sentido del recorrido.
  2. Calcular el trabajo recibido W1W_1 y W2W_2 a lo largo de cada uno de los dos caminos. ¿Cuánto vale su diferencia W1−W2W_1-W_2?
  3. Sin volver a calcular por separado las dos integrales, obtener geométricamente W1−W2W_1-W_2 a partir del área comprendida entre los dos caminos en el diagrama de Clapeyron.
  4. Calcular ΔU\Delta U a lo largo de cada uno de los dos caminos y deducir Q1Q_1 y Q2Q_2. Concluir sobre la naturaleza de δQ\delta Q.
  5. Aplicación numérica: n=1n=1 mol, T1=300T_1=300 K, T2=600T_2=600 K y V2=2V1V_2=2V_1.

Pista
En el diagrama de Clapeyron, una isócora es vertical y una isoterma de un gas ideal verifica P=nRT/VP=nRT/V. La isoterma de temperatura T2T_2 está situada por encima de la de temperatura T1T_1. Una isócora no contribuye al trabajo de las fuerzas de presión. Para la pregunta 3, el trabajo recibido es el opuesto del área algebraica situada bajo el camino en el diagrama (P,V)(P,V).

Solución detallada

Solución
Pregunta 1. Denotemos por CC el estado intermedio del camino Γ1\Gamma_1 y por DD el del camino Γ2\Gamma_2. Sus presiones y volúmenes son

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Como T2>T1T_2>T_1, la isoterma T2T_2 está por encima de la isoterma T1T_1. El camino Γ1\Gamma_1 se traza de AA a CC, hacia la derecha a lo largo de la isoterma inferior T1T_1, y después verticalmente de CC a BB a lo largo de la isócora V2V_2. El camino Γ2\Gamma_2 asciende primero verticalmente de AA a DD a lo largo de la isócora V1V_1, y después se dirige hacia la derecha de DD a BB a lo largo de la isoterma superior T2T_2. Las flechas de los dos caminos son por tanto

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
Los caminos _1 y _2 en el diagrama de Clapeyron. Las curvas grises prolongan las isotermas T_1 y T_2.
Figura 1. Los caminos Γ1\Gamma_1 y Γ2\Gamma_2 en el diagrama de Clapeyron. Las curvas grises prolongan las isotermas T1T_1 y T2T_2.

Pregunta 2. Con el convenio del trabajo recibido por el gas, δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V. Una isócora no contribuye y, en una isoterma a la temperatura TT,

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Se obtiene por tanto

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

y después

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Los estados inicial y final son idénticos, pero los trabajos difieren: δW\delta W no es una diferencial exacta.

Pregunta 3. Las isócoras no barren área alguna. Como el trabajo recibido es el opuesto del área bajo la curva, la diferencia W1−W2W_1-W_2 es el área comprendida entre las isotermas T2T_2 y T1T_1:

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Se obtiene de nuevo el resultado de la pregunta 2.

Pregunta 4. La energía interna del gas ideal monoatómico solo depende de la temperatura. Su variación es, por tanto, la misma en los dos caminos:

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

El primer principio, ΔU=W+Q\Delta U=W+Q, da Q=ΔU−WQ=\Delta U-W, de donde

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Así,

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

El calor intercambiado también depende del camino: δQ\delta Q no es una diferencial exacta, al contrario que dU\mathrm{d}U.

Pregunta 5. Con ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693,

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

El gas proporciona el doble de trabajo durante Γ2\Gamma_2 y recibe el calor adicional correspondiente.