Ejercicio resuelto de termodinámica

Ciclo triangular

Ejercicio 20 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

ciclo de potencia
diagrama de Clapeyron
área del ciclo
primer principio
rendimiento

Enunciado

Se consideran $n$ moles de gas ideal, de capacidad térmica molar $c_{V}$ constante, que describen el ciclo cuasiestático $A \to B \to C \to A$ , con

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

La rama $A \to B$ es isócora, la rama $B \to C$ es un segmento de recta en el plano $(P, V)$ y la rama $C \to A$ es isóbara.

Para un ciclo de potencia, el rendimiento se define mediante

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

donde $Q_{in}$ es la suma de las transferencias elementales de calor $δ Q > 0$ recibidas por el gas durante el ciclo.

Representar el ciclo en el diagrama de Clapeyron y precisar su sentido de recorrido. ¿Es de potencia o de refrigeración?
Determinar la ecuación $P (V)$ de la recta que une $B$ con $C$ .
Tomando $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ , determinar las temperaturas $T_{A}$ , $T_{B}$ y $T_{C}$ . ¿Por qué $Δ U_{B \to C}$ es nula aunque esta rama no sea isoterma?
Calcular el trabajo recibido en cada una de las tres ramas y después en el ciclo completo. Obtener de nuevo el valor absoluto del trabajo total a partir del área del triángulo.
Calcular $Δ U$ y $Q$ en cada rama en función únicamente de $P_{0}$ , $V_{0}$ y $c_{V}$ , y comprobar que $Δ U_{cycle} = 0$ y $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ .
Tomando $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ y $x = V / V_{0}$ , demostrar que el signo de $δ Q$ cambia en un punto de la rama $B \to C$ . Deducir $Q_{in}$ y después el rendimiento $η$ de este ciclo. Dar su valor para un gas ideal monoatómico, para el cual $c_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Pista

B \to C

, buscar

P (V) = aV + b

imponiendo el paso por

B

C

. Para calcular una variación de energía interna, solo son necesarias las temperaturas en los extremos de la rama. Para la pregunta 6, utilizar el primer principio en forma diferencial.

Solución detallada

Solución

Preguntas 1–2. El ciclo se recorre en sentido horario: es un ciclo de potencia. La ecuación de la recta

B \to C

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

El ciclo triangular A B C A en el diagrama de Clapeyron. — Figura 1. El ciclo triangular $A \to B \to C \to A$ en el diagrama de Clapeyron.

Pregunta 3. La ecuación de estado da

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

La temperatura varía a lo largo de $B \to C$ , pero recupera el mismo valor en sus dos extremos. Como la energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura para una cantidad de materia fija, $Δ U_{B \to C} = 0$ .

Pregunta 4. Los trabajos recibidos valen

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

Así,

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

Su signo es negativo: el gas proporciona trabajo durante el ciclo. Su valor absoluto es efectivamente el área del triángulo, de base $V_{0}$ y altura $P_{0}$ , según la fórmula $A = \frac{1}{2} base \times altura$ para un triángulo rectángulo.

Pregunta 5. Puesto que

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

Rama A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

Sumando las tres ramas, se obtiene

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

Pregunta 6. Tomemos $a = c_{V} / R$ y $x = V / V_{0}$ . En la rama $B \to C$ , $P = P_{0} (3 - x)$ y $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ . El primer principio da

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

Este calor elemental se anula para

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

Cuando $a > 1$ , se tiene $1 < x_{⋆} < 2$ : el gas recibe calor desde $B$ hasta el punto de abscisa $x_{⋆}$ , y después lo cede hasta $C$ . También recibe el calor $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ en $A \to B$ . Por consiguiente,

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

El rendimiento vale por tanto

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

Para un gas ideal monoatómico, $a = \frac{3}{2}$ , de donde

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.

Enunciado

Indicación

Solución detallada