Ejercicio resuelto de termodinámica

Ejercicio de curso: leyes de Laplace

Ejercicio 18 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

ejercicio de curso
ley de Laplace
índice adiabático
gamma
expansión adiabática
primer principio diferencial

Enunciado

Se consideran $n$ moles de gas ideal con índice adiabático $γ = c_{P} / c_{V}$ supuesto constante. El sistema se supone cerrado. Se admite la relación de Mayer $c_{P} - c_{V} = R$ (véase el ejercicio sobre el descubrimiento de $c_{P}$ ).

Demostrar que $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
El gas experimenta una transformación adiabática cuasiestática para la cual se supone $P_{ext} = P$ . Partiendo del primer principio en forma diferencial, demostrar que $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ y deducir a continuación que $T V^{γ - 1} = cte$ a lo largo de la transformación.
Deducir las otras dos formas de la ley de Laplace: $P V^{γ} = cte$ y $T^{γ} P^{1 - γ} = cte$ .
Sea una expansión de este tipo que duplica el volumen de un gas monoatómico ( $γ = 5/3$ ), con $n = 1$ mol, a la temperatura inicial $T_{i} = 300$ K. Calcular $T_{f}$ , después $Δ T$ y $W$ , y comentar los signos de $Δ T$ y de $W$ .
En el diagrama de Clapeyron $(P, V)$ , comparar en un mismo punto la pendiente de una adiabática de este tipo y la de una isoterma.

Pista

Para la pregunta 2:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

con

P = n R T / V

, y después separar las variables. Para la pregunta 5, diferenciar

P V^{γ} = cte

P V = cte

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. De

c_{P} = γ c_{V}

y de

c_{P} - c_{V} = R

, se obtiene

c_{V} (γ - 1) = R

, de donde se deducen las dos fórmulas. Pregunta 2. Adiabática:

δ Q = 0

, por lo que

d U = δ W

, es decir,

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Con

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Integrando: $ln T + (γ - 1) ln V = cte$ , es decir, $T V^{γ - 1} = cte$ .

Pregunta 3. Sustituyendo

T = P V / (n R)

se obtiene

P V^{γ} = cte

puesto que

n

es constante. Sustituyendo

V = n R T / P

, se obtiene

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = cte

y, por tanto,

T^{γ} P^{1 - γ} = cte

. Pregunta 4. Lo más sencillo es utilizar la ley de Laplace

T V^{γ - 1} = cte

, que da:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, es decir,

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. ¡Nótese que es imprescindible expresar la temperatura en kelvins en este cálculo para no cometer errores! Se deduce

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Para el trabajo, como

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : el gas proporciona trabajo al exterior durante la expansión. Como no puede extraerlo de ningún foco térmico ( $Q = 0$ ), recurre a su energía interna, de ahí el enfriamiento $Δ T < 0$ .

Pregunta 5. Diferenciando

P V = cte

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Diferenciando

P V^{γ} = cte

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. La adiabática tiene una pendiente

γ

veces mayor que la isoterma: comprimir sin evacuar calor hace que la presión aumente más deprisa, pues la temperatura también aumenta.

Enunciado

Indicación

Solución detallada