Ejercicio resuelto de termodinámica

Ejercicio de curso: leyes de Laplace

Ejercicio 10 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

  • ejercicio de curso
  • ley de Laplace
  • índice adiabático
  • gamma
  • expansión adiabática
  • primer principio diferencial

Enunciado

Se consideran nn moles de gas ideal con índice adiabático γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V supuesto constante. El sistema se supone cerrado. Se admite la relación de Mayer cP−cV=Rc_P - c_V = R (véase el ejercicio sobre el descubrimiento de cPc_P).

  1. Demostrar que cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. El gas experimenta una transformación adiabática cuasiestática para la cual se supone Pext=PP_{\text{ext}} = P. Partiendo del primer principio en forma diferencial, demostrar que dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, y deducir a continuación que TVγ−1=cteTV^{\gamma-1} = \text{cte} a lo largo de la transformación.
  3. Deducir las otras dos formas de la ley de Laplace: PVγ=ctePV^\gamma = \text{cte} y TγP1−γ=cteT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cte}.
  4. Sea una expansión de este tipo que duplica el volumen de un gas monoatómico (γ=5/3\gamma = 5/3), con n=1n = 1 mol, a la temperatura inicial Ti=300T_i = 300 K. Calcular TfT_f, después ΔT\Delta T y WW, y comentar los signos de ΔT\Delta T y de WW.
  5. En el diagrama de Clapeyron (P,V)(P,V), comparar en un mismo punto la pendiente de una adiabática de este tipo y la de una isoterma.

Pista
Para la pregunta 2: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T y δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V con P=nRT/VP = nRT/V, y después separar las variables. Para la pregunta 5, diferenciar PVγ=ctePV^\gamma = \text{cte} y PV=ctePV = \text{cte}.

Solución detallada

Solución
Pregunta 1. De cP=γcVc_P = \gamma c_V y de cP−cV=Rc_P - c_V = R, se obtiene cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R, de donde se deducen las dos fórmulas.

Pregunta 2. Adiabática: δQ=0\delta Q = 0, por lo que dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, es decir, ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. Con cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1):

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Integrando: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=cte\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{cte}, es decir, TVγ−1=cteTV^{\gamma-1} = \text{cte}.

Pregunta 3. Sustituyendo T=PV/(nR)T = PV/(nR) se obtiene PVγ=ctePV^\gamma = \text{cte} puesto que nn es constante. Sustituyendo V=nRT/PV = nRT/P, se obtiene T(TP)γ−1=cteT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{cte} y, por tanto, TγP1−γ=cteT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cte}.

Pregunta 4. Lo más sencillo es utilizar la ley de Laplace TVγ−1=cteT V^{\gamma - 1} = \text{cte}, que da: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, es decir, Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. ¡Nótese que es imprescindible expresar la temperatura en kelvins en este cálculo para no cometer errores! Se deduce ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K. Para el trabajo, como Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: el gas proporciona trabajo al exterior durante la expansión. Como no puede extraerlo de ningún foco térmico (Q=0Q=0), recurre a su energía interna, de ahí el enfriamiento ΔT<0\Delta T < 0.

Pregunta 5. Diferenciando PV=ctePV = \text{cte}: (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}. Diferenciando PVγ=ctePV^\gamma = \text{cte}: (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. La adiabática tiene una pendiente γ\gamma veces mayor que la isoterma: comprimir sin evacuar calor hace que la presión aumente más deprisa, pues la temperatura también aumenta.