Ejercicio resuelto de termodinámica

Trabajo de una transformación politrópica $P V^{k} = cte$

Ejercicio 22 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

transformación politrópica
trabajo de las fuerzas de presión
ley de Laplace

Enunciado

Se considera una transformación cuasiestática de un gas ideal tal que $P V^{k} = cte$ , con $k \in R$ y $k \neq = 1$ .

Calcular $W_{A \to B}$ en función de $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ y $k$ .
Obtener de nuevo el resultado para una isóbara ( $k = 0$ ).
¿Cuánto vale para una isócora (sin utilizar la fórmula anterior)?
¿Qué sucede para $k = 1$ ? Obtener de nuevo $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Pista

Tomar

P (V) = C V^{- k}

con

C = P_{A} V_{A}^{k}

, integrar y después utilizar

C V^{1 - k} = P V

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. La relación politrópica se escribe

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

El trabajo recibido por el gas vale, con el convenio del banquero,

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Para $k \neq = 1$ , una primitiva de $V^{- k}$ es $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Así,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Ahora bien,

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Finalmente,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Pregunta 2. Para $k = 0$ , la relación $P V^{0} = C$ se convierte en $P = C$ : la transformación es isóbara. Como $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Se obtiene de nuevo la expresión directa del trabajo isóbaro.

Pregunta 3. Para una transformación isócora,

V_{B} = V_{A}

d V = 0

en todo instante. Por consiguiente,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Una isócora no trivial no corresponde a ningún valor finito de $k$ : si $V$ es constante, la relación $P V^{k} = cte$ también impondría que $P$ fuera constante. La isócora solo puede considerarse como un límite formal $k \to \infty$ .

Pregunta 4. Para

k = 1

, el integrando es proporcional a

1/ V

: la primitiva ya no es una potencia, sino un logaritmo. Por tanto, hay que volver a realizar la integración por separado. La relación politrópica se convierte en

P V = C .

Para un gas ideal cerrado, $P V = n R T$ ; la temperatura es, por tanto, constante y $C = n R T$ . El trabajo recibido es entonces

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Para una compresión, $V_{B} / V_{A} < 1$ , por lo que el logaritmo es negativo y $W_{A \to B} > 0$ , como era de esperar.

Enunciado

Indicación

Solución detallada