Trabajo de una transformación politrópica $PV^k=\text{cte}$

Pregunta 1. La relación politrópica se escribe

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

El trabajo recibido por el gas vale, con el convenio del banquero,

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Para $k\neq1$, una primitiva de $V^{-k}$ es $V^{1-k}/(1-k)$. Así,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Ahora bien,

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Finalmente,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Pregunta 2. Para $k=0$, la relación $PV^0=C$ se convierte en $P=C$: la transformación es isóbara. Como $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Se obtiene de nuevo la expresión directa del trabajo isóbaro.

Pregunta 3. Para una transformación isócora, $V_B=V_A$ y $\mathrm{d}V=0$ en todo instante. Por consiguiente,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Una isócora no trivial no corresponde a ningún valor finito de $k$: si $V$ es constante, la relación $PV^k=\text{cte}$ también impondría que $P$ fuera constante. La isócora solo puede considerarse como un límite formal $k\to\infty$.

Pregunta 4. Para $k=1$, el integrando es proporcional a $1/V$: la primitiva ya no es una potencia, sino un logaritmo. Por tanto, hay que volver a realizar la integración por separado. La relación politrópica se convierte en

$$PV=C.$$

Para un gas ideal cerrado, $PV=nRT$; la temperatura es, por tanto, constante y $C=nRT$. El trabajo recibido es entonces

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Para una compresión, $V_B/V_A<1$, por lo que el logaritmo es negativo y $W_{A\to B}>0$, como era de esperar.