Ejercicio resuelto de termodinámica

¿Ciclo de refrigeración rectangular?

Ejercicio 23 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

ciclo termodinámico
ciclo rectangular
diagrama de Clapeyron
trabajo
calor
área
gas ideal
ciclo de refrigeración
máquina frigorífica

Enunciado

Se consideran $n$ moles de gas ideal monoatómico, con $U = \frac{3}{2} n R T$ , que recorren cuasiestáticamente el ciclo rectangular antihorario

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

donde $V_{2} > V_{1}$ y $P_{2} > P_{1}$ . Se denotará

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Representar el ciclo en el diagrama de Clapeyron $(P, V)$ y precisar la naturaleza de cada rama.
Calcular el trabajo recibido en cada una de las cuatro ramas en función de $Δ V$ cuando esta varía y, después, el trabajo total en función de $Δ P$ y $Δ V$ . Obtener de nuevo su valor a partir del área del rectángulo.
Expresar $Δ U$ y $Q$ en cada rama en función de $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ y $Δ V$ , utilizando $Δ P$ en las isócoras y $Δ V$ en las isóbaras.
Comprobar que $Δ U_{cycle} = 0$ y $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . ¿Es el ciclo motor o receptor, es decir, produce o recibe trabajo neto? ¿En qué ramas recibe calor el gas y en cuáles lo cede? Mostrar que el calor total cedido por el gas, $Q_{out} > 0$ , es igual al calor total que recibe, $Q_{in} > 0$ , más el trabajo recibido $W_{cycle}$ .
Expresar las temperaturas $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ y $T_{D}$ de los cuatro vértices. ¿Cuál es la más baja y cuál la más alta? ¿Cómo varía la temperatura del gas a lo largo de cada rama? ¿Entre qué temperaturas recibe calor el gas y entre qué temperaturas lo cede?
Se quiere utilizar este ciclo como frigorífico: extraer calor de un recinto frío y expulsarlo hacia el aire más caliente de la habitación. Para que un cuerpo reciba calor, el foco con el que está en contacto debe estar más caliente que él. ¿Qué temperaturas deben tener los focos que suministran calor al gas y los que reciben calor de él? ¿Puede este ciclo funcionar como frigorífico?
Aplicación numérica: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L y $V_{2} = 15, 0$ L. Calcular $W$ y $Q$ en cada rama, y después $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ y $Q_{out}$ . Calcular por último los cocientes $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ y $T_{D} / T_{A}$ , y concluir.

Pista

En una isócora,

n R Δ T = V Δ P

y el trabajo es nulo. En una isóbara,

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. Toda función de estado recupera su valor inicial al final de un ciclo.

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. Los puntos

A

B

C

D

están respectivamente abajo a la izquierda, abajo a la derecha, arriba a la derecha y arriba a la izquierda. Las ramas

A \to B

C \to D

son isóbaras;

B \to C

D \to A

son isócoras. El recorrido

A \to B \to C \to D \to A

es antihorario.

Figura 1. El ciclo rectangular con isóbaras e isócoras en el diagrama de Clapeyron.

Pregunta 2. El trabajo recibido por el gas es

W = - \int P_{ext} d V .

Es nulo en las isócoras $B \to C$ y $D \to A$ . En las dos isóbaras,

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Así,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Este valor es efectivamente el área del rectángulo en el diagrama de Clapeyron.

Pregunta 3. Para el gas ideal monoatómico,

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

En una isóbara, la ecuación de estado da $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Por consiguiente,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

En una isócora, da $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , de donde

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Finalmente, el primer principio $Δ U = Q + W$ , es decir, $Q = Δ U - W$ , conduce a la tabla resumen:

Rama A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Pregunta 4. La suma de las variaciones de energía interna es nula, como para cualquier función de estado a lo largo de un ciclo. El primer principio impone, por tanto,

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

El gas recibe globalmente trabajo: el ciclo es receptor. Según la tabla, recibe calor en $A \to B$ y $B \to C$ , y lo cede en $C \to D$ y $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Restando, con $P_{2} - P_{1} = Δ P$ y $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ,

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

de donde

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

A lo largo de un ciclo, el gas expulsa en forma de calor toda la energía que ha recibido, calor y trabajo incluidos.

Pregunta 5. La ecuación de estado da

T = P V / (n R)

en cada vértice:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Como $P_{1} < P_{2}$ y $V_{1} < V_{2}$ , el producto $P V$ es mínimo en $A$ y máximo en $C$ : $T_{A}$ es la temperatura más baja del ciclo, $T_{C}$ la más alta, y $T_{B}$ y $T_{D}$ son intermedias.

En la isóbara

A \to B

V

aumenta a presión constante, de modo que

T

crece de

T_{A}

T_{B}

. En la isócora

B \to C

P

aumenta a volumen constante, de modo que

T

crece de

T_{B}

T_{C}

. Del mismo modo,

T

disminuye de

T_{C}

T_{D}

C \to D

, y luego de

T_{D}

T_{A}

D \to A

. El gas recibe, pues, calor mientras su temperatura sube desde el valor más bajo

T_{A}

hasta el más alto

T_{C}

, y lo cede mientras baja de nuevo de

T_{C}

T_{A}

. Pregunta 6. Para recibir calor, el gas debe estar en contacto con focos al menos tan calientes como él; en el límite cuasiestático, su temperatura sigue la del gas. Los focos que suministran calor al gas tienen, por tanto, temperaturas que van de

T_{A}

hasta

T_{C}

, la temperatura más alta del ciclo. A la inversa, los focos que reciben su calor tienen temperaturas que van de

T_{C}

hasta

T_{A}

, la más baja del ciclo. No hay, pues, un lado frío y un lado caliente separados: el gas toma calor de focos muy calientes y lo cede a focos muy fríos. Este ciclo no puede servir de frigorífico, que debe extraer el calor a las temperaturas más bajas y expulsarlo a las más altas. Recibe trabajo y lo devuelve íntegramente en forma de calor (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), redistribuyendo calor entre focos de temperaturas diversas. Un frigorífico debe, por el contrario, absorber calor en las partes más frías de su ciclo y expulsarlo en las más calientes. Es el caso del ciclo de Carnot recorrido en sentido inverso, estudiado en la Lección 6: el gas recibe calor a lo largo de la isoterma fría y lo cede a lo largo de la isoterma caliente. Que un ciclo sea receptor no basta, por tanto, para que sea frigorífico. Pregunta 7. Aquí

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa y

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Rama A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Así, $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ y $Δ U_{cycle} = 0$ . El calor recibido vale $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ y el calor cedido $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Los cocientes de temperaturas no dependen de $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Si la temperatura más baja del ciclo fuera la de un recinto frío, por ejemplo $T_{A} = 270 K$ , el gas debería recibir calor de focos de hasta $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Es evidente que un ciclo así no enfría el recinto.

Enunciado

Indicación

Solución detallada