Enunciado

Se consideran $n$ moles de gas ideal monoatómico, con $U=\frac{3}{2}nRT$ , que recorren cuasiestáticamente el ciclo rectangular antihorario

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

donde $V_2>V_1$ y $P_2>P_1$ . Se denotará

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Este ciclo de refrigeración se utiliza como modelo de máquina frigorífica. Su coeficiente de rendimiento frigorífico (COP) se define mediante

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

donde $Q_f>0$ es el calor total extraído por el gas en las ramas en las que recibe calor, y $W_{\mathrm{cycle}}>0$ el trabajo neto que recibe.

Representar el ciclo en el diagrama de Clapeyron $(P,V)$ y precisar la naturaleza de cada rama.
Calcular el trabajo recibido en cada una de las cuatro ramas en función de $\Delta V$ cuando esta varía y, después, el trabajo total en función de $\Delta P$ y $\Delta V$ . Obtener de nuevo su valor a partir del área del rectángulo.
Expresar $\Delta U$ y $Q$ en cada rama en función de $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ y $\Delta V$ , utilizando $\Delta P$ en las isócoras y $\Delta V$ en las isóbaras.
Comprobar que $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ y $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . ¿Es el ciclo de potencia o de refrigeración? ¿En qué ramas recibe calor el gas y en cuáles lo cede? Interpretar estos intercambios identificando los focos fríos y los focos calientes: ¿qué se enfría aquí?
Deducir el COP frigorífico del ciclo en función de $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ y $V_2$ .
Interpretar físicamente el COP. ¿Por qué puede ser superior a 1, al contrario que el rendimiento de un motor térmico?
Aplicación numérica: $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L y $V_2=15{,}0$ L. Dar $W$ y $Q$ en cada rama, después sus balances en el ciclo y el COP.

Pista

En una isócora,

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

y el trabajo es nulo. En una isóbara,

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

y

W=-P\Delta V

. Toda función de estado recupera su valor inicial al final de un ciclo.

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. Los puntos

A

,

B

,

C

y

D

están respectivamente abajo a la izquierda, abajo a la derecha, arriba a la derecha y arriba a la izquierda. Las ramas

A\to B

y

C\to D

son isóbaras;

B\to C

y

D\to A

son isócoras. El recorrido

A\to B\to C\to D\to A

es antihorario.

Figura 1. El ciclo rectangular con isóbaras e isócoras en el diagrama de Clapeyron.

Pregunta 2. El trabajo recibido por el gas es

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

Es nulo en las isócoras $B\to C$ y $D\to A$ . En las dos isóbaras,

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Así,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Este valor es efectivamente el área del rectángulo en el diagrama de Clapeyron.

Pregunta 3. Para el gas ideal monoatómico,

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

En una isóbara, la ecuación de estado da $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Por consiguiente,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

En una isócora, da $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , de donde

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Finalmente, el primer principio $\Delta U=Q+W$ , es decir, $Q=\Delta U-W$ , conduce a la tabla resumen:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Rama} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Pregunta 4. La suma de las variaciones de energía interna es nula. El primer principio impone por tanto

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

El gas recibe globalmente trabajo: el ciclo es de refrigeración. Recibe calor en $A\to B$ y $B\to C$ . En estas dos ramas, extrae calor de los focos fríos con los que se pone en contacto: son, por tanto, estos focos exteriores (por ejemplo, el recinto y los alimentos de un refrigerador), y no el propio gas cíclico, los que se enfrían.

En $C\to D$ y $D\to A$ , el gas cede, por el contrario, calor a los focos calientes, por ejemplo, el aire de la habitación. Denotando por $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ el calor total recibido por estos focos,

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

El ciclo transfiere así calor de los focos fríos a los focos calientes gracias al trabajo que recibe.

Pregunta 5. El calor extraído por el gas vale

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Se deduce

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Pregunta 6. El COP mide el efecto frigorífico obtenido con respecto al trabajo invertido: un COP igual a $k$ significa que cada julio de trabajo aportado permite extraer $k$ julios de calor de los focos fríos.

Al contrario que el rendimiento de un motor térmico, el COP no es la fracción de una energía recibida que se convierte en trabajo. El gas recibe a la vez el trabajo $W_{\mathrm{in}}$ y el calor $Q_f$ extraído de los focos fríos, y después cede su suma a los focos calientes:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Por tanto, no hay razón alguna para que $Q_f$ sea inferior a $W_{\mathrm{in}}$ , y el COP puede perfectamente ser superior a 1 sin contradecir la conservación de la energía.

Pregunta 7. Aquí $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa y $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Rama} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Así, $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J y $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . El calor extraído vale

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

mientras que el calor cedido a los focos calientes vale

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

El coeficiente de rendimiento frigorífico es, por tanto,

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.

Enunciado

Indicación

Solución detallada