Ejercicio resuelto de termodinámica

Calentamiento a presión constante: descubrimiento de $c_{P}$

Ejercicio 21 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

capacidad térmica
presión constante
relación de Mayer
calentamiento isóbaro
gas ideal

Enunciado

Un mol de gas ideal, de capacidad térmica molar $c_{V}$ , está encerrado en un cilindro de volumen inicial $V_{0}$ . El cilindro está cerrado por un pistón móvil, sin rozamiento y adiabático, sometido a una presión exterior constante $P_{0}$ . Una resistencia eléctrica interna al gas le aporta un calor $Q > 0$ de forma cuasiestática.

Hacer un esquema sencillo del dispositivo. Indicar el gas, el pistón, la resistencia, la presión exterior $P_{0}$ y los intercambios de energía.
Sin utilizar valores numéricos, expresar la temperatura inicial $T_{0}$ y después determinar el estado final $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , el trabajo $W$ recibido por el gas y su variación de energía interna $Δ U$ .
Deducir la capacidad térmica molar a presión constante $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ en función de $c_{V}$ y de $R$ .
Aplicación numérica para un gas ideal monoatómico: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ y $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Pista

La transformación es isóbara:

W = - P_{0} Δ V

. Para un mol de gas ideal,

P_{0} Δ V = R Δ T

. Introducir estas relaciones en el primer principio.

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. El esquema debe mostrar el gas en un cilindro cerrado por un pistón móvil. Una flecha en el interior del cilindro representa el calor

Q

aportado por la resistencia. La presión exterior

P_{0}

se ejerce sobre el pistón, que se desplaza hacia arriba cuando el gas se expande. Pregunta 2. La ecuación de estado inicial da

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

La presión permanece constante, por lo que $P_{f} = P_{0}$ . Además, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . El primer principio da entonces

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

de donde

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

El estado final es, por tanto,

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Por último,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Pregunta 3. Como $Q = (c_{V} + R) Δ T$ a presión constante,

c_{P} = c_{V} + R .

Esta es la relación de Mayer.

Pregunta 4. Para un gas monoatómico,

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Se obtiene

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Por último,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .

Enunciado

Indicación

Solución detallada