Ejercicio resuelto de termodinámica

Calentamiento a presión constante: descubrimiento de cPc_P

Ejercicio 13 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

  • capacidad térmica
  • presión constante
  • relación de Mayer
  • calentamiento isóbaro
  • gas ideal

Enunciado

Un mol de gas ideal, de capacidad térmica molar cVc_V, está encerrado en un cilindro de volumen inicial V0V_0. El cilindro está cerrado por un pistón móvil, sin rozamiento y adiabático, sometido a una presión exterior constante P0P_0. Una resistencia eléctrica interna al gas le aporta un calor Q>0Q>0 de forma cuasiestática.

  1. Hacer un esquema sencillo del dispositivo. Indicar el gas, el pistón, la resistencia, la presión exterior P0P_0 y los intercambios de energía.
  2. Sin utilizar valores numéricos, expresar la temperatura inicial T0T_0 y después determinar el estado final (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), el trabajo WW recibido por el gas y su variación de energía interna ΔU\Delta U.
  3. Deducir la capacidad térmica molar a presión constante cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P en función de cVc_V y de RR.
  4. Aplicación numérica para un gas ideal monoatómico: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} y R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Pista
La transformación es isóbara: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. Para un mol de gas ideal, P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T. Introducir estas relaciones en el primer principio.

Solución detallada

Solución
Pregunta 1. El esquema debe mostrar el gas en un cilindro cerrado por un pistón móvil. Una flecha en el interior del cilindro representa el calor QQ aportado por la resistencia. La presión exterior P0P_0 se ejerce sobre el pistón, que se desplaza hacia arriba cuando el gas se expande.

Pregunta 2. La ecuación de estado inicial da

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

La presión permanece constante, por lo que Pf=P0P_f=P_0. Además, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. El primer principio da entonces

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

de donde

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

El estado final es, por tanto,

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

Por último,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

Pregunta 3. Como Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T a presión constante,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

Esta es la relación de Mayer.

Pregunta 4. Para un gas monoatómico,

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Se obtiene

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

Por último,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.