Rendimiento y coeficientes de rendimiento: las cotas de Carnot mediante la desigualdad de Clausius

Pregunta 1. Los tres modos de funcionamiento se distinguen por el sentido real de las transferencias.

• Como motor, el fluido recibe calor del termostato caliente, cede calor al termostato frío y suministra trabajo: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ y $W<0$.
• Tanto en el refrigerador como en la bomba de calor, el fluido recibe trabajo, extrae calor del termostato frío y cede calor al termostato caliente: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ y $Q_{\mathrm{H}}<0$. Las dos máquinas son idénticas; solo cambia el servicio esperado: enfriar el termostato frío o calentar el termostato caliente.

En un ciclo, el fluido vuelve a su estado inicial, luego su energía interna no varía: $\Delta U=0$. El primer principio $\Delta U=Q+W$ da, en los tres casos,

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Pregunta 2. Como motor, $W<0$, luego $|W|=-W$. El primer principio da $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, de donde

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

En el refrigerador o en la bomba de calor, $W>0$ y el primer principio da $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Puesto que $Q_{\mathrm{H}}<0$, se tiene $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Así,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Puesto que $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

Como motor, $Q_{\mathrm{C}}<0$ y $Q_{\mathrm{H}}>0$, luego $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ y $\eta <1$: el trabajo suministrado no puede superar el calor recibido, cosa que el primer principio basta para garantizar. Un coeficiente de rendimiento, en cambio, puede superar $1$: una bomba de calor no fabrica el calor que cede, sino que lo traslada del foco frío al caliente, y el trabajo recibido es solo una parte de él. De hecho, siempre se tiene ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, puesto que ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Pregunta 3. El fluido recorre un ciclo intercambiando calor solo con los dos termostatos. La desigualdad de Clausius se escribe

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

con igualdad si y solo si el ciclo es reversible. Aislemos el término frío y multipliquemos después por $T_{\mathrm{C}}>0$, lo que conserva el sentido de la desigualdad:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Como motor, $Q_{\mathrm{H}}>0$: dividamos por $Q_{\mathrm{H}}$, lo que también conserva el sentido de la desigualdad,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Sustituyendo en la expresión de la pregunta 2,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

La igualdad se alcanza si y solo si la desigualdad de Clausius es una igualdad, es decir, para un ciclo reversible: se recuperan el primer y el tercer teorema de Carnot sin ninguna hipótesis sobre el fluido de trabajo. Por último, $\eta =1$ exigiría $Q_{\mathrm{C}}=0$; la desigualdad de Clausius se convertiría entonces en $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, lo que contradice $Q_{\mathrm{H}}>0$. Es el enunciado de Kelvin–Planck: un motor debe ceder obligatoriamente calor al termostato frío.

Pregunta 4. Partamos esta vez de la desigualdad de Clausius aislando el término caliente y multipliquemos después por $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

pues el sentido de la desigualdad se invierte al cambiar de signo. Sumemos $-Q_{\mathrm{C}}$ a ambos miembros y utilicemos $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Ambos miembros son positivos. Dividamos por $W>0$ y multipliquemos después por $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Con la relación de la pregunta 2,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Como en el caso del motor, estas cotas solo las alcanza una máquina reversible.

Pregunta 5. Cuando $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, la cota del rendimiento $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ tiende a $0$: sin diferencia de temperatura, no puede producirse ningún trabajo. Las cotas de los dos COP, cuyo denominador $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ tiende a $0$, tienden en cambio a infinito: trasladar calor entre dos cuerpos a la misma temperatura no cuesta, en el límite reversible, ningún trabajo. Cuando $T_{\mathrm{C}}\to 0$, la cota del rendimiento tiende a $1$, y la del ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ tiende a $0$: extraer calor de un cuerpo cada vez más frío cuesta cada vez más trabajo por julio extraído: enfriar hacia el cero absoluto resulta cada vez más costoso. Pregunta 6. Para el refrigerador,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Para el congelador,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

El trabajo consumido por julio de calor extraído vale $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. El cociente de los dos consumos mínimos es, por tanto, $18,5/6,7\approx 2,8$: incluso ideal, el congelador consume casi tres veces más trabajo que el refrigerador para extraer el mismo calor, porque la diferencia de temperatura que hay que salvar es más del doble. Los aparatos reales, irreversibles, quedan claramente por debajo de estas cotas.