Ciclo de Carnot: energía y entropía en cada rama

Pregunta 1. El esquema muestra las adiabáticas $AB$ y $CD$, $BC$ en la isoterma caliente y $DA$ en la isoterma fría. El ciclo se recorre en sentido horario. En la adiabática $AB$, la ley de Laplace da

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Elevando a la potencia $1/(\gamma-1)$ y definiendo $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$ se obtiene $V_A=bV_B$. De modo análogo, en $CD$,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

Así, $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: las isotermas tienen el mismo cociente de volúmenes y se recorren en sentidos opuestos.

Pregunta 2. En cada adiabática reversible, $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ y $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

En una isoterma de gas ideal, $\mathrm dU=0$, por lo que $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$. Para la expansión a la temperatura caliente,

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

Para la compresión a la temperatura fría, $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

En el diagrama $(S,T)$, la entropía es constante en $AB$ y $CD$: estas ramas son verticales. Las isotermas $BC$ y $DA$ son horizontales. Tomando $S_A$ como origen relativo, las coordenadas son

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{Estado}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

Se obtiene un rectángulo recorrido en sentido horario, de anchura $nR\ln r$ y altura $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$.

Pregunta 3. En un ciclo, $\Delta U=0$. Contando positivamente la energía recibida, el primer principio da

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

El trabajo suministrado es $-W>0$ y el calor recibido del foco caliente es $Q_{BC}>0$. El rendimiento es entonces

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Cada termostato recibe el calor opuesto al que suministra al gas:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

El gas vuelve a su estado inicial, por lo que $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$. La suma de las tres variaciones es nula: no se produce entropía. El trabajo suministrado al exterior no transporta entropía.

Pregunta 4. Se conserva para la máquina la convención de energía recibida: $Q_{\mathrm{H}}>0$ es el calor recibido del foco caliente, $Q_{\mathrm{C}}<0$ el recibido del foco frío y $W<0$ el trabajo recibido por ciclo. Los termostatos reciben los calores opuestos, $-Q_{\mathrm{H}}$ y $-Q_{\mathrm{C}}$. Su variación total de entropía es la entropía producida, pues la máquina vuelve a su estado inicial y solo se transfiere trabajo al exterior:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Multiplicando por $T_{\mathrm{C}}$ y despejando $Q_{\mathrm{C}}$,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

El primer principio da $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$. El trabajo recuperado es $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, de donde

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Como $T_{\mathrm{C}}>0$ y $Q_{\mathrm{H}}>0$, una producción positiva de entropía reduce el rendimiento.

Pregunta 5. El calor recibido del foco caliente es el mismo para ambos motores. Según la pregunta 2,

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

El rendimiento del motor reversible es

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

La pregunta 4 da la diferencia entre ambos rendimientos:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

El numerador $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ es una energía, por lo que el cociente es adimensional. La disminución es de $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ puntos porcentuales. Así,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

El rendimiento pasa de $40\,\%$ a $28{,}2\,\%$; una disminución de $11{,}8$ puntos no es una disminución relativa del $11{,}8\,\%$.