Ejercicio resuelto de termodinámica

Mezcla de dos masas de agua

Ejercicio 3 · Lección 2 — Historia de la termodinámica y la calorimetría

  • calorimetría
  • mezcla
  • capacidad térmica
  • calor específico
  • Joseph Black
  • temperatura de equilibrio

Enunciado

Se vierten m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg} de agua a T1=80 ∘CT_1=80\,^\circ\text{C} en un recipiente que ya contiene m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg} de agua a T2=15 ∘CT_2=15\,^\circ\text{C}. El recipiente es un calorímetro ideal: se desprecia toda pérdida de calor al exterior y la capacidad térmica del propio recipiente. Se recuerda la relación Q=mcΔTQ=mc\Delta T, donde c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} es la capacidad térmica específica del agua líquida.

  1. Justificar que el calor cedido por el agua caliente es recibido íntegramente por el agua fría. Escribir la ecuación de conservación con m1m_1, m2m_2, cc, T1T_1, T2T_2 y la temperatura de equilibrio TeqT_{eq}.
  2. Deducir la expresión de TeqT_{eq} y calcular su valor numérico.
  3. Calcular el calor QQ cedido por el agua caliente durante la mezcla.
  4. ¿Permiten tales mezclas de una misma sustancia determinar cc? Justificar.

Pista
Como el calorímetro está aislado y es rígido, se conserva la energía interna total U1+U2U_1+U_2: el calor cedido por uno es recibido por el otro con signo opuesto.

Solución detallada

Solución
1. Como el calorímetro está aislado (sus paredes exteriores son adiabáticas y rígidas), se conserva la energía interna total del sistema formado por el agua caliente y el agua fría: lo que una pierde, la otra lo gana exactamente. Por tanto, Q1,recibido=−Q2,recibidoQ_{1,\textrm{recibido}}=-Q_{2,\textrm{recibido}}, o bien Q1,recibido+Q2,recibido=0Q_{1,\textrm{recibido}}+Q_{2,\textrm{recibido}}=0. Con la convención Q=mcΔTQ=mc\Delta T aplicada a cada masa de agua entre su estado inicial y el equilibrio, se escribe

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. El factor común cc se simplifica y se obtiene

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,^\circ\text{C}.

3. El agua caliente cede

Q1,cedido=−Q1,recibido=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q_{1,\textrm{cedido}}=-Q_{1,\textrm{recibido}}=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

El agua fría recibe exactamente la misma cantidad:

Q2,recibido=m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.Q_{2,\textrm{recibido}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. No. Para dos masas de la misma sustancia, el mismo coeficiente cc multiplica ambos términos del balance y se simplifica. La temperatura de equilibrio no depende de cc, sino que es la media de las temperaturas iniciales ponderada por las masas. Para medir una capacidad térmica específica mediante el método de mezclas hace falta una sustancia de capacidad conocida, como en el ejercicio siguiente.