Ejercicio resuelto de termodinámica

La evapotranspiración de un gran árbol: ¿un climatizador natural?

Ejercicio 2 · Lección 2 — Historia de la termodinámica y la calorimetría

  • orden de magnitud
  • evapotranspiración
  • árbol
  • calor latente
  • potencia frigorífica
  • climatizador
  • COP

Enunciado

En un día caluroso y seco, un gran árbol con suficiente suministro de agua puede evapotranspirar aproximadamente 500 L=5,0×10−1 m3500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3 de agua. Como la transpiración se produce principalmente con luz, supondremos que se reparte durante doce horas. La copa del árbol cubre en el suelo una superficie Atree=50 m2A_{\text{tree}}=50\,\text{m}^2. Se dan la densidad del agua y su calor latente de vaporización a presión atmosférica:

ρagua=1,0×103 kg ⁣⋅ ⁣m−3,Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\rho_{\text{agua}}=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, \qquad L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.
  1. Calcular la masa de agua evapotranspirada durante el día y la energía necesaria para vaporizarla.
  2. Explicar por qué esto produce un efecto refrigerante.
  3. Calcular la potencia refrigerante media del árbol por metro cuadrado durante las doce horas de transpiración activa.
  4. Para comparar, se considera un climatizador alimentado con una potencia eléctrica Pel=2,0×103 WP_{\mathrm{el}}=2{,}0\times10^3\,\text{W}, con coeficiente de rendimiento frigorífico COP=3,0\mathrm{COP}=3{,}0, que enfría una habitación de superficie Ahab=20 m2A_{\text{hab}}=20\,\text{m}^2. Por definición, COP=Pcool/Pel\mathrm{COP}=P_{\text{cool}}/P_{\mathrm{el}}. Calcular la potencia frigorífica y la potencia por metro cuadrado, y compararlas con las del árbol.
  5. ¿Por qué no puede concluirse que el árbol y el climatizador producen exactamente la misma sensación de enfriamiento, aunque sus potencias por unidad de superficie tengan el mismo orden de magnitud?
  6. ¿Se puede refrescar una vivienda con muchas plantas de interior? (Cultura general: la respuesta depende de procesos biológicos.)

Pista
Utilizar m=ρVm=\rho V, Qevap=mLvQ_{\mathrm{evap}}=mL_v y P=Q/τP=Q/\tau. Para el climatizador, Pcool=COP PelP_{\text{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}}.

Solución detallada

Solución
1. La masa correspondiente es

m=ρaguaV=1,0×103×5,0×10−1=5,0×102 kg.m=\rho_{\text{agua}}V =1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1} =5{,}0\times10^2\,\text{kg}.

La energía de vaporización vale

Qevap=mLv=5,0×102×2,45×106=1,225×109 J.Q_{\mathrm{evap}}=mL_v =5{,}0\times10^2\times2{,}45\times10^6 =1{,}225\times10^9\,\text{J}.

Su orden de magnitud es, por tanto, el gigajulio.

2. La vaporización es un cambio de estado endotérmico: toma esta energía de las hojas, del suelo y del aire circundante. La extracción de calor reduce la temperatura de las hojas y de su entorno inmediato.

3. Doce horas corresponden a τ=12×3600=4,32×104 s\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}. Por tanto,

Ptree=Qevapτ=1,225×1094,32×104≈2,84×104 W,P_{\text{tree}}=\frac{Q_{\mathrm{evap}}}{\tau} =\frac{1{,}225\times10^9}{4{,}32\times10^4} \approx2{,}84\times10^4\,\text{W},

y por unidad de superficie,

PtreeAtree=2,84×10450≈5,7×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{tree}}}{A_{\text{tree}}} =\frac{2{,}84\times10^4}{50} \approx5{,}7\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

4. La potencia frigorífica útil del climatizador es

Pcool=COP Pel=3,0×2,0×103=6,0×103 W.P_{\text{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}} =3{,}0\times2{,}0\times10^3 =6{,}0\times10^3\,\text{W}.

Por unidad de superficie,

PcoolAhab=6,0×10320=3,0×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{cool}}}{A_{\text{hab}}} =\frac{6{,}0\times10^3}{20} =3{,}0\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

En este modelo, la evapotranspiración del árbol por unidad de superficie es casi dos veces más potente que un climatizador corriente.

5. La comparación solo concierne a flujos de energía. El climatizador enfría un volumen cerrado y controlado, mientras que el vapor del árbol se dispersa en la atmósfera y el viento aporta aire caliente. El efecto percibido depende de la ventilación, la humedad, la temperatura ambiente y la distancia al árbol. La transpiración también varía con la radiación solar, el viento, la humedad del aire, la especie y el agua disponible, y puede disminuir mucho durante una sequía. Además, el árbol proporciona sombra y reduce directamente la radiación solar recibida por el suelo y las personas. Las potencias calculadas permiten comparar órdenes de magnitud, no establecer una equivalencia exacta de confort térmico.

6. En la práctica, el efecto refrigerante de las plantas de interior sería muy pequeño. En la mayoría de las plantas, la luz favorece la apertura de los estomas, pequeños poros de las hojas por los que escapa el vapor. La iluminación interior suele ser débil: los estomas se abren menos y la transpiración disminuye. En una habitación poco ventilada, el aumento de humedad también ralentiza progresivamente la evaporación.

Muchas plantas pueden producir un ligero enfriamiento evaporativo local, pero no sustituyen a un climatizador. Para evacuar energía de forma duradera habría que expulsar al exterior el aire húmedo. Una iluminación artificial intensa podría estimular la transpiración, pero su energía eléctrica terminaría casi íntegramente como calor en la habitación. Las plantas CAM adaptadas a medios áridos, entre ellas los cactus, son una excepción: sus estomas se abren principalmente por la noche.