Ejercicio resuelto de termodinámica

Del hielo frío al agua hirviendo: órdenes de magnitud

Ejercicio 1 · Lección 2 — Historia de la termodinámica y la calorimetría

  • calorimetría
  • cambio de estado
  • fusión
  • vaporización
  • calor latente
  • orden de magnitud

Enunciado

Datos numéricos (a presión atmosférica):

chielo=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cagua=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{hielo}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{agua}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

A presión atmosférica, se calienta progresivamente un kilogramo de hielo, inicialmente a −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}.

  1. Calcular la energía necesaria para llevar el hielo de −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  2. Calcular la energía necesaria para fundir completamente el hielo a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  3. Calcular la energía necesaria para calentar el agua líquida de 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  4. Calcular la energía adicional necesaria para vaporizar completamente el agua a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  5. ¿Qué etapa requiere más energía? Comparar la energía necesaria para calentar un kilogramo de agua de 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} con la energía potencial de una masa mm que cae desde diez metros de altura. ¿Qué masa mm debe caer para igualar esta energía?
  6. Consideremos ahora el proceso inverso. Una masa mvm_v de vapor de agua se condensa sobre un parabrisas, sin que el agua líquida obtenida se enfríe después. Expresar el calor QlibQ_{\text{lib}} liberado durante la condensación y calcularlo para mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}. A la temperatura del parabrisas, tómese Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

Pista
Para calentar una fase sin cambio de estado, utilizar Q=mcΔTQ=mc\Delta T. Para un cambio de estado a temperatura constante, utilizar Q=mLQ=mL. La energía potencial gravitatoria de una masa mm situada a una altura hh es Ep=mghE_p=mgh; tómese g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.

Solución detallada

Solución
1. Calentar el hielo hasta su temperatura de fusión requiere

Q1=mchieloΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{hielo}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Durante la fusión, la temperatura permanece en 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}:

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Para calentar el agua líquida de 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C},

Q3=mcaguaΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\text{agua}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. La vaporización completa requiere además

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 J.Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Por tanto, esta etapa requiere por sí sola una energía del orden de varios megajulios.

5. La vaporización es, con diferencia, la etapa que más energía requiere:

Q4=2,26×106 J>Q3=4,18×105 J>Q2=3,34×105 J>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

En particular, la vaporización requiere aproximadamente (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 veces más energía que calentar el agua líquida de 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.

Para una masa mm que cae desde una altura h=10 mh=10\,\text{m}, Ep=mghE_p=mgh. Imponiendo mgh=Q3mgh=Q_3, se obtiene

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Habría que dejar caer desde diez metros una masa de aproximadamente 4,34{,}3 toneladas para liberar tanta energía como la necesaria para calentar un kilogramo de agua de 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}. Es enorme y explica por qué calentar agua representa una parte importante del consumo energético doméstico. El agua también posee una capacidad térmica específica muy grande frente a los metales corrientes: por ejemplo, es unas diez veces mayor que la del cobre (véanse los ejercicios siguientes).

6. La condensación es el proceso inverso de la vaporización: el vapor cede al parabrisas el calor latente

Qlib=mvLv.Q_{\text{lib}}=m_vL_v.

Para mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg},

Qlib=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{lib}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

Así, la condensación de una pequeña masa de vapor puede liberar una cantidad de calor nada despreciable, recibida por el parabrisas y su entorno.