Ejercicio resuelto de termodinámica

Gibbs–Duhem y potencial químico del gas ideal

Ejercicio 36 · Lección 7 — Estructura matemática: las relaciones fundamentales

Gibbs-Duhem
potencial químico
gas ideal
extensividad
compresión isoterma

Enunciado

Una sustancia pura homogénea cumple

U = T S - P V + μ n, d U = T d S - P d V + μ d n .

Diferenciar la relación de Euler y, por comparación con la relación fundamental, establecer la relación de Gibbs–Duhem.
Introduciendo la entropía molar $s = S / n$ y el volumen molar $v = V / n$ , demostrar que $d μ = - s d T + v d P .$
A temperatura constante, integrar esta relación para un gas ideal entre las presiones $P_{1}$ y $P_{2}$ .
Para $P_{2} > P_{1}$ , determinar el signo de $μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1})$ e interpretarlo físicamente.

Pista

Para un gas ideal, el volumen molar vale

v = R T / P

Solución detallada

Solución

1. La diferencial de la relación de Euler es

d U = T d S + S d T - P d V - V d P + μ d n + n d μ .

Restando la relación fundamental, se anulan los términos en $d S$ , $d V$ y $d n$ . Queda

S d T - V d P + n d μ = 0.

2. Se divide esta igualdad por $n$ :

s d T - v d P + d μ = 0,

es decir, $d μ = - s d T + v d P$ .

3. A temperatura constante,

d T = 0

. Para el gas ideal,

d μ = v d P = \frac{R T}{P} d P .

Integrando con los límites explícitos,

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) = R T \int_{P_{1}}^{P_{2}} \frac{d P}{P} = R T ln (\frac{P _{2}}{P _{1}}) .

4. Si $P_{2} > P_{1}$ , entonces $P_{2} / P_{1} > 1$ y $ln (P_{2} / P_{1}) > 0$ . Como $R > 0$ y $T > 0$ ,

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) > 0.

Comprimir isotérmicamente el gas aumenta, por tanto, su potencial químico. Si dos regiones a la misma temperatura pueden intercambiar materia, la transferencia espontánea tiene lugar desde la región de potencial químico alto hacia la de potencial químico bajo, hasta que ambos potenciales se igualan.

Enunciado

Indicación

Solución detallada