Ejercicio resuelto de termodinámica

Comprobar una relación de Maxwell en una adiabática

Ejercicio 35 · Lección 7 — Estructura matemática: las relaciones fundamentales

relación de Maxwell
gas ideal
adiabática
capacidad térmica molar
derivadas parciales

Enunciado

Para un sistema cerrado de composición fija,

d U = T d S - P d V .

Se considera un gas ideal de capacidad térmica molar $c_{V}$ constante y se denota $γ = c_{P} / c_{V}$ , con $c_{P} - c_{V} = R$ .

Deducir de la diferencial de $U (S, V)$ la relación de Maxwell $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Calcular el miembro izquierdo a partir de $T V^{γ - 1} = constante$ .
Calcular por separado el miembro derecho utilizando $P = n R T / V$ y $d S = n c_{V} d T / T$ a volumen constante.
Comprobar que ambos resultados coinciden.

Pista

En la pregunta 1, identificar

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, y después intercambiar el orden de las derivadas.

Solución detallada

Solución

1. Las variables naturales de

U

son

S

V

. Por tanto,

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Como las derivadas cruzadas de $U$ son iguales,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. En una adiabática reversible, $T V^{γ - 1} = K$ . Diferenciando a entropía constante,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Tras dividir por $V^{γ - 1} d V$ ,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. A volumen constante, $P = n R T / V$ , luego

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Ahora bien, $d S = n c_{V} d T / T$ a volumen constante, de donde $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Así,

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. La relación de Mayer da $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . El miembro derecho vale, por tanto, $- (γ - 1) T / V$ , exactamente igual que el miembro izquierdo.

Enunciado

Indicación

Solución detallada