Ejercicio resuelto de termodinámica

El gas de fotones en el Universo

Ejercicio 39 · Lección 7 — Estructura matemática: las relaciones fundamentales

gas de fotones
radiación
fondo cósmico de microondas
relación fundamental
expansión adiabática
función homogénea
potencial químico nulo

Enunciado

En los primeros instantes del Universo, la materia es un plasma caliente de núcleos, electrones y fotones. Hacia $T_{i} \approx 3000 K$ se forman los primeros átomos y los fotones quedan libres. Se supone que en ese instante el gas de fotones está en equilibrio a la temperatura $T_{i}$ y que después experimenta una expansión adiabática reversible a medida que el Universo se expande. Se admite su relación fundamental

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

donde $a$ es una constante positiva con dimensiones. La entropía no depende del número $N$ de fotones: este número no se conserva.

Recordar la definición de función homogénea de grado uno y demostrar que $S$ lo es.
Representar el aspecto de $S$ en función de $U$ con $V$ fijo. ¿Es cóncava esta función? Comentar.
Determinar $T$ , $P$ y $μ$ a partir de las derivadas de $S$ . Demostrar en particular que $U = a^{4} V T^{4}$ y que $P = U / (3 V)$ , y comentar después el valor de $μ$ .
Escribir el primer principio para este gas y particularizarlo a una expansión adiabática reversible. Deducir una relación entre $U$ y $V$ a lo largo de esta transformación.
Deducir que $V T^{3}$ permanece constante durante la expansión.
Obtener de nuevo este resultado directamente a partir de la entropía expresada en función de $T$ y $V$ .
El gas de fotones se observa hoy a $T_{f} \approx 3 K$ : es el fondo cósmico de microondas. ¿Por qué factor se ha multiplicado el volumen del Universo desde la emisión?

Pista

En representación entrópica,

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. En la pregunta 4, una transformación adiabática reversible cumple

d S = 0

, luego

d U = - P d V

: separar las variables.

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. Una función

f

de varias variables es homogénea de grado uno si

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

para todo

λ > 0

. Aquí,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

La entropía del gas de fotones es, por tanto, extensiva.

Pregunta 2. Con

V

fijo,

S

es proporcional a

U^{3/4}

. Su derivada primera,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

es positiva: $S$ crece con $U$ y la temperatura es positiva. Su derivada segunda,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

es negativa: $S$ es cóncava en $U$ . La curva parte del origen con tangente vertical y después se curva quedando por encima de sus cuerdas. Esta concavidad expresa la estabilidad del equilibrio del gas de fotones.

Pregunta 3. Según la pregunta 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

La derivada con respecto a $V$ , con $U$ fijo, vale

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Ahora bien, $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , de donde

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Por último, $S$ no depende de $N$ , luego $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . El potencial químico de los fotones es nulo: como su número no se conserva, se ajusta libremente en el equilibrio, y añadir uno no cuesta nada.

Pregunta 4. Como el término

μ d N

es nulo, la relación fundamental diferencial se escribe

d U = T d S - P d V

. En una expansión adiabática reversible,

d S = 0

; por tanto, con

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Integrando entre el estado inicial y un estado cualquiera de la expansión, $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , es decir,

U V^{1/3} = constante .

Pregunta 5. Sustituyamos $U$ por $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = constante .

Como $a$ es constante, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ es constante, luego $V^{1/3} T$ también lo es; elevando al cubo, $V T^{3} = constante$ .

Pregunta 6. Expresemos

S

en función de

T

V

sustituyendo

U

por

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Una expansión adiabática reversible es isentrópica: $S$ es constante y, por tanto, $V T^{3}$ también. Se recupera directamente el resultado de la pregunta 5.

Pregunta 7. Puesto que

V T^{3}

se conserva,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

El volumen del Universo se ha multiplicado por mil millones desde la emisión, lo que corresponde a un factor $1 0^{3}$ en las distancias. La radiación emitida a unos $3000 K$ , enfriada por la expansión, es el fondo cósmico de microondas que hoy se mide a $2, 7 K$ .

Enunciado

Indicación

Solución detallada