Ejercicio resuelto de termodinámica

Ejercicio de curso: transformaciones elementales

Ejercicio 17 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

ejercicio de curso
gas ideal monoatómico
transformación isócora
transformación isoterma
transformación isóbara
energía interna
trabajo
calor
primer principio

Enunciado

Se consideran $n$ moles de gas ideal monoatómico, inicialmente en el estado $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ . Se estudian por separado tres transformaciones cuasiestáticas que parten todas de $A$ , con $T_{f} > T_{i}$ :

$A \to B$ : calentamiento isócoro de $T_{i}$ a $T_{f}$ ;
$A \to C$ : compresión isoterma a $T_{i}$ , de $V_{A}$ a $V_{A} /2$ ;
$A \to D$ : calentamiento isóbaro de $T_{i}$ a $T_{f}$ .

Se adopta el convenio del banquero: las transferencias recibidas por el gas son positivas.

Representar las tres transformaciones en un mismo diagrama de Clapeyron $(P, V)$ y determinar formalmente los estados $B$ , $C$ y $D$ .
Calcular formalmente $W$ , $Δ U$ y $Q$ para cada una de las tres transformaciones.
Comentar los signos de las transferencias de energía.
Aplicación numérica: $n = 1 mol$ , $T_{i} = 300 K$ , $T_{f} = 500 K$ y $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Pista

Para un gas ideal monoatómico,

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

. Utilizar

W = - \int P d V

y el primer principio

Δ U = Q + W

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. La ecuación de los gases ideales da

Estado A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

En el diagrama $(P, V)$ , $A \to B$ es una línea vertical, $A \to C$ sigue la isoterma $T_{i}$ hacia la izquierda y $A \to D$ es una línea horizontal hacia la derecha.

Pregunta 2. Calentamiento isócoro

A \to B

. Como

d V = 0

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Compresión isoterma $A \to C$ . La temperatura es constante, por lo que $Δ U_{A C} = 0$ . Además,

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

Calentamiento isóbaro $A \to D$ . A presión constante, $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ , por lo que

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Pregunta 3. En la isócora, todo el calor recibido aumenta la energía interna. Durante la compresión isoterma, el gas recibe trabajo y cede exactamente la misma energía en forma de calor. En la isóbara, el gas recibe calor, aumenta su energía interna y proporciona trabajo al expandirse.

Pregunta 4. Con

T_{f} - T_{i} = 200 K

Transformaci \overset{o}{ˊ} n Is \overset{o}{ˊ} cora A \to B Isoterma A \to C Is \overset{o}{ˊ} bara A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16

Enunciado

Indicación

Solución detallada