Ejercicio resuelto de termodinámica

Ejercicio de curso: transformaciones elementales

Ejercicio 9 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

  • ejercicio de curso
  • gas ideal monoatómico
  • transformación isócora
  • transformación isoterma
  • transformación isóbara
  • energía interna
  • trabajo
  • calor
  • primer principio

Enunciado

Se consideran nn moles de gas ideal monoatómico, inicialmente en el estado A(PA,VA,Ti)A(P_A,V_A,T_i). Se estudian por separado tres transformaciones cuasiestáticas que parten todas de AA, con Tf>TiT_f>T_i:

  • A→BA\to B: calentamiento isócoro de TiT_i a TfT_f;
  • A→CA\to C: compresión isoterma a TiT_i, de VAV_A a VA/2V_A/2;
  • A→DA\to D: calentamiento isóbaro de TiT_i a TfT_f.

Se adopta el convenio del banquero: las transferencias recibidas por el gas son positivas.

  1. Representar las tres transformaciones en un mismo diagrama de Clapeyron (P,V)(P,V) y determinar formalmente los estados BB, CC y DD.
  2. Calcular formalmente WW, ΔU\Delta U y QQ para cada una de las tres transformaciones.
  3. Comentar los signos de las transferencias de energía.
  4. Aplicación numérica: n=1 moln=1\ \mathrm{mol}, Ti=300 KT_i=300\ \mathrm{K}, Tf=500 KT_f=500\ \mathrm{K} y R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Pista
Para un gas ideal monoatómico, ΔU=32nRΔT\Delta U=\frac32nR\Delta T. Utilizar W=−∫P dVW=-\int P\,\mathrm{d}V y el primer principio ΔU=Q+W\Delta U=Q+W.

Solución detallada

Solución
Pregunta 1. La ecuación de los gases ideales da

EstadoPVTAPAVATiBPATfTiVATfC2PAVA2TiDPAVATfTiTf\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Estado} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

En el diagrama (P,V)(P,V), A→BA\to B es una línea vertical, A→CA\to C sigue la isoterma TiT_i hacia la izquierda y A→DA\to D es una línea horizontal hacia la derecha.

Pregunta 2.

Calentamiento isócoro A→BA\to B. Como dV=0\mathrm{d}V=0,

WAB=0,ΔUAB=32nR(Tf−Ti),QAB=32nR(Tf−Ti).W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Compresión isoterma A→CA\to C. La temperatura es constante, por lo que ΔUAC=0\Delta U_{AC}=0. Además,

WAC=−∫VAVA/2nRTiV dV=nRTiln⁡2,QAC=−nRTiln⁡2.W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Calentamiento isóbaro A→DA\to D. A presión constante, PA(VD−VA)=nR(Tf−Ti)P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i), por lo que

WAD=−nR(Tf−Ti),ΔUAD=32nR(Tf−Ti),QAD=52nR(Tf−Ti).W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Pregunta 3. En la isócora, todo el calor recibido aumenta la energía interna. Durante la compresión isoterma, el gas recibe trabajo y cede exactamente la misma energía en forma de calor. En la isóbara, el gas recibe calor, aumenta su energía interna y proporciona trabajo al expandirse.

Pregunta 4. Con Tf−Ti=200 KT_f-T_i=200\ \mathrm{K}:

TransformacioˊnW (kJ)ΔU (kJ)Q (kJ)Isoˊcora A→B0+2,49+2,49Isoterma A→C+1,730−1,73Isoˊbara A→D−1,66+2,49+4,16\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Transformación} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Isócora }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Isoterma }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Isóbara }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}