Ejercicio resuelto de termodinámica

Compresión adiabática: progresiva o brusca

Ejercicio 24 · Lección 5 — Aplicación al gas ideal

compresión adiabática
transformación reversible
transformación irreversible
presión exterior constante
trabajo

Enunciado

Este ejercicio es mucho más que un gran clásico: también es fundamental para demostrar una de las diferencias entre una transformación reversible y una transformación irreversible (véase también la Lección 6).

Se consideran $n$ moles de gas ideal, con capacidades térmicas constantes y una relación $γ = c_{P} / c_{V} > 1$ , encerrados en un cilindro vertical térmicamente aislado, de sección $S$ , cerrado por un pistón térmicamente aislado de masa despreciable, móvil sin rozamiento. El exterior está a la presión atmosférica $P_{0}$ , que se ejerce sobre la cara superior del pistón. En el equilibrio inicial, la presión del gas también vale $P_{0}$ , y su estado es

A = (P_{0}, V_{0}, T_{0}) .

Se dispone de una sobrecarga de masa total $M$ . Cuando se coloca por completo sobre el pistón, la presión exterior vale

P_{1} = P_{0} + \frac{M g}{S} = x P_{0}, x > 1.

Se comparan dos experimentos: o bien la masa $M$ se divide en un gran número de pequeñas masas que se añaden una a una, esperando a que se alcance cada nuevo equilibrio; o bien la masa $M$ completa se coloca de una sola vez. En un segundo paso, se retira la sobrecarga del mismo modo: o bien grano de arena a grano de arena, o bien de una sola vez.

Los dos experimentos parten del mismo estado inicial A, representado en el centro: el pistón solo está sometido entonces a la presión atmosférica P_0. A la izquierda, la sobrecarga de masa total M se deposita grano de arena a grano de arena, de modo que P_ ext aumenta progresivamente; al retirarla del mismo modo, se recorre el camino en sentido inverso. A la derecha, la misma masa M se deposita de una sola vez: P_ ext pasa bruscamente de P_0 a P_1. En los dos experimentos de compresión, P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — Figura 1. Los dos experimentos parten del mismo estado inicial $A$ , representado en el centro: el pistón solo está sometido entonces a la presión atmosférica $P_{0}$ . A la izquierda, la sobrecarga de masa total $M$ se deposita grano de arena a grano de arena, de modo que $P_{ext}$ aumenta progresivamente; al retirarla del mismo modo, se recorre el camino en sentido inverso. A la derecha, la misma masa $M$ se deposita de una sola vez: $P_{ext}$ pasa bruscamente de $P_{0}$ a $P_{1}$ . En los dos experimentos de compresión, $P_{1} = P_{0} + M g / S = x P_{0}$ .

La sobrecarga se añade muy progresivamente, de modo que la presión exterior pasa lentamente de $P_{0}$ a $P_{1}$ . Justificar que en cada instante la presión $P$ del gas es igual a la presión exterior $P_{ext}$ . ¿Qué ley puede utilizarse entonces para relacionar los estados sucesivos del gas? Deducir $P_{B} / P_{0}$ , $T_{B} / T_{0}$ y $V_{B} / V_{0}$ en función de $x$ y de $γ$ .
Se parte ahora del estado $B$ y se retira la sobrecarga muy progresivamente, grano de arena a grano de arena, hasta que la presión exterior vuelva a ser $P_{0}$ . Utilizando la misma ley que en la pregunta anterior, demostrar que el gas vuelve exactamente a su estado inicial $A$ .
Se parte de nuevo de $A$ y esta vez se coloca la masa $M$ de una sola vez: la presión exterior toma bruscamente el valor constante $P_{1}$ . Determinar por completo el estado final $B^{'}$ , así como $W_{A B^{'}}$ , $Q_{A B^{'}}$ y $Δ U_{A B^{'}}$ .
Tomar primero el ejemplo $γ = 5/3$ y $x = 2$ para comparar numéricamente $T_{B^{'}}$ con $T_{B}$ . Establecer después analíticamente la comparación para todo $γ > 1$ y todo $x > 1$ , y comparar luego $V_{B^{'}}$ con $V_{B}$ . ¿Cuál de las dos compresiones calienta más el gas y cuál lo comprime más?
Desde $B^{'}$ , se retira bruscamente toda la sobrecarga: la presión exterior vuelve a ser la presión atmosférica $P_{0}$ . Determinar el estado final $B^{''}$ . Demostrar si $T_{B^{''}}$ y $V_{B^{''}}$ son mayores o menores que sus valores iniciales.
Realizar el balance energético del proceso de ida y vuelta $A \to B^{'} \to B^{''}$ . Explicar qué añadirá la Lección 6 a esta comparación.

Pista

Para la transformación brusca, utilizar

W = - P_{ext} (V_{f} - V_{i})

y únicamente la ecuación de estado en los estados de equilibrio inicial y final. Para comparar

B

B^{'}

, puede estudiarse el logaritmo del cociente

T_{B^{'}} / T_{B}

Solución detallada

Solución

Se recuerda que

c_{V} = \frac{R}{γ - 1}

. Pregunta 1. La sobrecarga se divide en masas suficientemente pequeñas y se alcanza cada nuevo equilibrio antes de añadir la siguiente: el gas pasa, por tanto, por una sucesión continua de estados de equilibrio: la transformación es cuasiestática. Como el pistón tiene una masa despreciable y no presenta rozamiento, el equilibrio mecánico en cada instante impone

P S = P_{ext} S

, es decir,

P = P_{ext}

. Como las paredes están térmicamente aisladas,

δ Q = 0

. En estas condiciones, pueden utilizarse las leyes de Laplace. Dos formas útiles entre

A

B

son

P_{0} V_{0}^{γ} = P_{B} V_{B}^{γ}, T_{0}^{γ} P_{0}^{1 - γ} = T_{B}^{γ} P_{B}^{1 - γ} .

Como $P_{B} = P_{1} = x P_{0}$ , la primera relación da directamente $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ , mientras que la segunda da $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ . Finalmente, $P_{B} / P_{0} = x$ , $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ y $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ .

Pregunta 2. Durante la retirada progresiva de la sobrecarga, el gas permanece en equilibrio mecánico con el exterior y sigue la misma adiabática de Laplace, pero en sentido inverso. Al final,

P_{f} = P_{0}

. Las relaciones de Laplace dan entonces

T_{f} = T_{B} (\frac{P _{0}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ} = T_{0} x^{(γ - 1) / γ} x^{- (γ - 1) / γ} = T_{0},

V_{f} = V_{B} (\frac{P _{1}}{P _{0}})^{1/ γ} = V_{0} x^{- 1/ γ} x^{1/ γ} = V_{0} .

El gas recupera, por tanto, exactamente el estado $A = (P_{0}, V_{0}, T_{0})$ . La transformación puede recorrerse en ambos sentidos pasando por la misma sucesión de estados de equilibrio: se dice que la transformación es reversible.

Pregunta 3. No deben utilizarse las leyes de Laplace: durante esta transformación brusca, el gas no pasa por una sucesión de estados de equilibrio. Durante la evolución, solo interviene en el trabajo la presión exterior constante

P_{1}

W_{A B^{'}} = - P_{1} (V_{B^{'}} - V_{0})

. En el equilibrio final,

P_{B^{'}} = P_{1}

. Utilizando

P_{0} V_{0} = n R T_{0}

P_{1} V_{B^{'}} = n R T_{B^{'}}

Q_{A B^{'}} = 0

Δ U_{A B^{'}} = n c_{V} (T_{B^{'}} - T_{0})

, el primer principio da

T_{B^{'}} = T_{0} \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Definamos

θ = \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Entonces

P_{B^{'}} = x P_{0}, T_{B^{'}} = θ T_{0}, V_{B^{'}} = \frac{θ}{x} V_{0} .

Pregunta 4. Comencemos por el ejemplo $γ = 5/3$ y $x = 2$ . La compresión progresiva da $T_{B} / T_{0} = 2^{2/5} ≃ 1, 32$ , mientras que la compresión brusca da

T_{B^{'}} / T_{0} = θ = [1 + (2/3) \times 2] / (5/3) = 7/5 = 1, 40.

En este ejemplo, la compresión brusca calienta más el gas. Demostremos que este resultado es general. Definamos

f (x) = ln (\frac{T _{B^{'}}}{T _{B}}) = ln (\frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ}) - \frac{γ - 1}{γ} ln x .

Se tiene $f (1) = 0$ , y

f^{'} (x) = \frac{γ - 1}{1 + ( γ - 1 ) x} - \frac{γ - 1}{γ x} = \frac{( γ - 1 ) ( x - 1 )}{γ x [ 1 + ( γ - 1 ) x ]}

Para $γ > 1$ y $x > 1$ , todos los factores del denominador son positivos y $f^{'} (x) > 0$ . Así, $f (x) > f (1) = 0$ , por lo que $T_{B^{'}} / T_{B} > 1$ , es decir, $T_{B^{'}} > T_{B}$ . Los dos estados tienen la misma presión $P_{1}$ ; la ecuación de los gases ideales impone por tanto también $V_{B^{'}} > V_{B}$ . La compresión brusca calienta más el gas, pero lo comprime menos que la compresión progresiva.

Pregunta 5. La retirada brusca de la sobrecarga hace que la presión exterior pase de

P_{1}

P_{0} = P_{1} / x

. Por tanto, se repite el cálculo de la pregunta 3 sustituyendo el cociente de presiones

x

por su inverso

1/ x

. El resultado de la pregunta 3 se convierte así en

\frac{T _{B^{''}}}{T _{B^{'}}} = \frac{1 + ( γ - 1 ) P _{0} / P _{1}}{γ} = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ} .

Definiendo

φ = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ},

se obtiene

P_{B^{''}} = P_{0}, T_{B^{''}} = θ φ T_{0}, V_{B^{''}} = θ φ V_{0} .

Ahora bien,

θ φ - 1 = \frac{γ - 1}{γ ^{2}} (x + \frac{1}{x} - 2) .

En el régimen estudiado, $x > 1$ , por lo que $x > 0$ y $x + 1/ x - 2 = (x - 1)^{2} / x > 0$ . Como $γ > 1$ , se tiene efectivamente $θ φ - 1 > 0$ . Por consiguiente,

T_{B^{''}} > T_{0} V_{B^{''}} > V_{0}

Después del proceso de ida y vuelta de la presión exterior, el gas no vuelve al estado $A$ . Esta diferencia es una primera señal de irreversibilidad: devolver la restricción exterior a su valor inicial no basta para devolver el sistema a su estado inicial.

Pregunta 6. La expansión brusca es adiabática y, por tanto, en el proceso completo de ida y vuelta,

Q_{tot} = 0, W_{tot} = Δ U_{tot} = n c_{V} T_{0} (θ φ - 1) > 0.

Las manipulaciones exteriores devuelven la presión a su valor inicial, pero el gas ha recibido un trabajo neto y permanece más caliente y más dilatado. La Lección 6 retomará los mismos estados para mostrar que la compresión reversible no produce entropía, mientras que cada una de las dos transformaciones bruscas la produce.

Enunciado

Indicación

Solución detallada