Ejercicio resuelto de termodinámica

Atmósfera isoterma y potencial químico

Ejercicio 41 · Lección 8 — Sentido de las evoluciones, equilibrio y estabilidad

potencial químico
atmósfera
ley barométrica
gravedad
gas ideal

Enunciado

Para un mol de aire a la altitud $z$ , se da el potencial químico generalizado

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

donde $M$ es la masa molar del aire. Se supone que la atmósfera es isoterma.

Explicar por qué $μ$ debe ser independiente de $z$ en el equilibrio.
Deducir la ecuación diferencial que satisface $P (z)$ y después la ley barométrica.
Estimar $P (h) / P (0)$ para $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ y $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
Indicar una limitación importante de este modelo.

Pista

En el equilibrio, desplazar una pequeña cantidad de materia de una altitud a otra no debe modificar la energía libre en primer orden.

Solución detallada

Solución

1. Si

μ

fuera mayor a una altitud que a otra, una transferencia de materia hacia la región de menor potencial reduciría la energía libre. El equilibrio impone, por tanto,

d μ = 0

. 2. A temperatura constante,

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Así, $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Integrando de $0$ a $z$ ,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

de donde

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. La masa molar en unidades SI vale $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . El exponente es

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Por tanto, $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. La temperatura real de la atmósfera varía con la altitud. El modelo isotermo da un orden de magnitud útil, pero no un perfil preciso; también desprecia la humedad y la variación de composición.

Enunciado

Indicación

Solución detallada