Wirkungsgrad und Leistungszahlen: die Carnot-Grenzen aus der Clausius-Ungleichung

Frage 1. Die drei Betriebsarten unterscheiden sich durch die tatsächliche Richtung der Übertragungen.

• Als Motor nimmt das Arbeitsmedium Wärme vom heißen Reservoir auf, gibt Wärme an das kalte Reservoir ab und liefert Arbeit: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ und $W<0$.
• Als Kühlschrank wie als Wärmepumpe nimmt das Arbeitsmedium Arbeit auf, entzieht dem kalten Reservoir Wärme und gibt Wärme an das heiße Reservoir ab: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ und $Q_{\mathrm{H}}<0$. Die beiden Maschinen sind identisch; nur der angestrebte Nutzen ändert sich, nämlich das kalte Reservoir zu kühlen oder das heiße Reservoir zu heizen.

Über einen Umlauf kehrt das Arbeitsmedium in seinen Anfangszustand zurück, seine innere Energie ändert sich also nicht: $\Delta U=0$. Der erste Hauptsatz $\Delta U=Q+W$ liefert in allen drei Fällen

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Frage 2. Als Motor ist $W<0$, also $|W|=-W$. Der erste Hauptsatz liefert $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, woraus

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}$$

folgt. Als Kühlschrank oder Wärmepumpe ist $W>0$, und der erste Hauptsatz liefert $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Wegen $Q_{\mathrm{H}}<0$ gilt $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Somit

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Da $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$ ist, folgt

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

Als Motor gilt $Q_{\mathrm{C}}<0$ und $Q_{\mathrm{H}}>0$, also $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ und $\eta <1$: Die abgegebene Arbeit kann die aufgenommene Wärme nicht übersteigen, wofür bereits der erste Hauptsatz sorgt. Eine Leistungszahl kann dagegen größer als $1$ sein: Eine Wärmepumpe erzeugt die abgegebene Wärme nicht, sondern befördert sie vom Kalten zum Warmen, und die aufgenommene Arbeit macht nur einen Teil davon aus. Es gilt sogar stets ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, da ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$ ist.

Frage 3. Das Arbeitsmedium durchläuft einen Kreisprozess und tauscht dabei nur mit den beiden Wärmereservoiren Wärme aus. Die Clausius-Ungleichung lautet

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

mit Gleichheit genau dann, wenn der Kreisprozess reversibel ist. Wir isolieren den kalten Term und multiplizieren mit $T_{\mathrm{C}}>0$, wobei die Richtung der Ungleichung erhalten bleibt:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Als Motor ist $Q_{\mathrm{H}}>0$: Wir dividieren durch $Q_{\mathrm{H}}$, wobei die Richtung der Ungleichung wiederum erhalten bleibt,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Einsetzen in den Ausdruck aus Frage 2 ergibt

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Clausius-Ungleichung zur Gleichung wird, also für einen reversiblen Kreisprozess: Damit erhält man den ersten und den dritten Satz von Carnot ohne jede Annahme über das Arbeitsmedium. Schließlich würde $\eta =1$ die Bedingung $Q_{\mathrm{C}}=0$ erfordern; die Clausius-Ungleichung würde dann zu $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, was $Q_{\mathrm{H}}>0$ widerspricht. Das ist die Kelvin–Planck-Formulierung: Ein Motor muss zwingend Wärme an das kalte Reservoir abgeben.

Frage 4. Diesmal gehen wir von der Clausius-Ungleichung aus, indem wir den heißen Term isolieren, und multiplizieren dann mit $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

wobei sich die Richtung der Ungleichung beim Übergang zu den Gegenzahlen umkehrt. Wir addieren $-Q_{\mathrm{C}}$ auf beiden Seiten und verwenden $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Beide Seiten sind positiv. Wir dividieren durch $W>0$ und multiplizieren dann mit $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Mit der Beziehung aus Frage 2 folgt

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Wie beim Motor werden diese Grenzen nur von einer reversiblen Maschine erreicht.

Frage 5. Für $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$ strebt die Grenze des Wirkungsgrads $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ gegen $0$: Ohne Temperaturunterschied lässt sich keine Arbeit gewinnen. Die Grenzen der beiden Leistungszahlen, deren Nenner $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ gegen $0$ strebt, wachsen dagegen über alle Grenzen: Wärme zwischen zwei Körpern gleicher Temperatur zu befördern, kostet im reversiblen Grenzfall keine Arbeit. Für $T_{\mathrm{C}}\to 0$ strebt die Grenze des Wirkungsgrads gegen $1$ und die von ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ gegen $0$: Einem immer kälteren Körper Wärme zu entziehen, kostet pro entzogenem Joule immer mehr Arbeit; die Abkühlung in Richtung des absoluten Nullpunkts wird immer aufwendiger. Frage 6. Für den Kühlschrank gilt

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Für den Gefrierschrank gilt

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Die pro Joule entzogener Wärme aufgewendete Arbeit beträgt $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Das Verhältnis der beiden minimalen Aufwände ist daher $18,5/6,7\approx 2,8$: Selbst im Idealfall wendet der Gefrierschrank fast dreimal so viel Arbeit auf wie der Kühlschrank, um dieselbe Wärme zu entziehen, weil der zu überwindende Temperaturunterschied mehr als doppelt so groß ist. Reale, irreversible Geräte bleiben deutlich unter diesen Grenzen.