Gelöste Thermodynamikaufgabe

Mischen zweier Wassermassen

Übung 3 · Lektion 2 — Geschichte der Thermodynamik und Kalorimetrie

  • Kalorimetrie
  • Mischung
  • Wärmekapazität
  • spezifische Wärmekapazität
  • Joseph Black
  • Gleichgewichtstemperatur

Aufgabenstellung

m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg} Wasser bei T1=80 ∘CT_1=80\,^\circ\text{C} werden in ein Gefäß gegossen, das bereits m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg} Wasser bei T2=15 ∘CT_2=15\,^\circ\text{C} enthält. Das Gefäß ist ein ideales Kalorimeter: Wärmeverluste an die Umgebung sowie seine eigene Wärmekapazität werden vernachlässigt. Es gilt

Q=mcΔT,Q=mc\Delta T,

wobei c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser ist.

  1. Begründen Sie, dass die vom warmen Wasser abgegebene Wärme vollständig vom kalten Wasser aufgenommen wird. Formulieren Sie die Erhaltungsgleichung mit m1m_1, m2m_2, cc, T1T_1, T2T_2 und der Gleichgewichtstemperatur TeqT_{eq}.
  2. Leiten Sie einen Ausdruck für TeqT_{eq} her und berechnen Sie den Zahlenwert.
  3. Berechnen Sie die beim Mischen vom warmen Wasser abgegebene Wärmemenge QQ.
  4. Lässt sich mit solchen Mischungen derselben Substanz der Wert von cc bestimmen? Begründen Sie.

Hinweis
Da das Kalorimeter isoliert und starr ist, bleibt die gesamte innere Energie U1+U2U_1+U_2 erhalten: Die von einem Teil abgegebene Wärme wird vom anderen mit umgekehrtem Vorzeichen aufgenommen.

Ausführliche Lösung

Lösung
1. Die Erhaltung der inneren Energie des Systems ergibt

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. Der gemeinsame Faktor cc kürzt sich heraus:

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,^\circ\text{C}.

3. Das warme Wasser gibt ab

Q=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

Das kalte Wasser nimmt genau dieselbe Wärmemenge auf:

m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.m_2c(T_{eq}-T_2) =0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Nein. Bei zwei Massen derselben Substanz multipliziert derselbe Faktor cc beide Terme der Bilanz und kürzt sich heraus. Die gemessene Gleichgewichtstemperatur hängt daher nicht von cc ab, sondern ist nur das mit den Massen gewichtete Mittel der Anfangstemperaturen. Zur Bestimmung einer spezifischen Wärmekapazität durch die Mischungsmethode benötigt man eine Substanz mit bekannter Wärmekapazität, wie in der folgenden Aufgabe.