Gelöste Thermodynamikaufgabe

Mischen zweier Wassermassen

Übung 3 · Lektion 2 — Geschichte der Thermodynamik und Kalorimetrie

Kalorimetrie
Mischung
Wärmekapazität
spezifische Wärmekapazität
Joseph Black
Gleichgewichtstemperatur

Aufgabenstellung

$m_1=0{,}200\,\text{kg}$ Wasser bei $T_1=80\,^\circ\text{C}$ werden in ein Gefäß gegossen, das bereits $m_2=0{,}300\,\text{kg}$ Wasser bei $T_2=15\,^\circ\text{C}$ enthält. Das Gefäß ist ein ideales Kalorimeter: Wärmeverluste an die Umgebung sowie seine eigene Wärmekapazität werden vernachlässigt. Es gilt

Q=mc\Delta T,

wobei $c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser ist.

Begründen Sie, dass die vom warmen Wasser abgegebene Wärme vollständig vom kalten Wasser aufgenommen wird. Formulieren Sie die Erhaltungsgleichung mit $m_1$ , $m_2$ , $c$ , $T_1$ , $T_2$ und der Gleichgewichtstemperatur $T_{eq}$ .
Leiten Sie einen Ausdruck für $T_{eq}$ her und berechnen Sie den Zahlenwert.
Berechnen Sie die beim Mischen vom warmen Wasser abgegebene Wärmemenge $Q$ .
Lässt sich mit solchen Mischungen derselben Substanz der Wert von $c$ bestimmen? Begründen Sie.

Hinweis

Da das Kalorimeter isoliert und starr ist, bleibt die gesamte innere Energie

U_1+U_2

erhalten: Die von einem Teil abgegebene Wärme wird vom anderen mit umgekehrtem Vorzeichen aufgenommen.

Ausführliche Lösung

Lösung

1. Da das Kalorimeter nach außen isoliert ist (adiabatische, starre Wände), bleibt die gesamte innere Energie des Systems aus warmem und kaltem Wasser erhalten: Was das eine abgibt, nimmt das andere vollständig auf. Daher gilt

Q_{1,\textrm{aufgenommen}}=-Q_{2,\textrm{aufgenommen}}

beziehungsweise

Q_{1,\textrm{aufgenommen}}+Q_{2,\textrm{aufgenommen}}=0

. Mit der Konvention

Q=mc\Delta T

für jede Wassermasse zwischen ihrem Anfangszustand und dem Gleichgewicht schreibt sich dies als

m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. Der gemeinsame Faktor $c$ kürzt sich heraus:

T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,^\circ\text{C}.

3. Das warme Wasser gibt ab

Q_{1,\textrm{abgegeben}}=-Q_{1,\textrm{aufgenommen}}=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

Das kalte Wasser nimmt genau dieselbe Wärmemenge auf:

Q_{2,\textrm{aufgenommen}}=m_2c(T_{eq}-T_2) =0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Nein. Bei zwei Massen derselben Substanz multipliziert derselbe Faktor $c$ beide Terme der Bilanz und kürzt sich heraus. Die gemessene Gleichgewichtstemperatur hängt daher nicht von $c$ ab, sondern ist nur das mit den Massen gewichtete Mittel der Anfangstemperaturen. Zur Bestimmung einer spezifischen Wärmekapazität durch die Mischungsmethode benötigt man eine Substanz mit bekannter Wärmekapazität, wie in der folgenden Aufgabe.