Aufgabenstellung

An einem heißen und trockenen Tag kann ein großer Baum bei ausreichender Wasserversorgung ungefähr $500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3$ Wasser evapotranspirieren. Da die Transpiration hauptsächlich bei Licht stattfindet, nehmen wir an, dass sie sich über zwölf Stunden verteilt. Die Baumkrone bedecke am Boden eine Fläche $A_{\text{Baum}}=50\,\text{m}^2$ . Gegeben sind die Dichte des Wassers und seine Verdampfungsenthalpie bei Atmosphärendruck:

\rho_{\text{Wasser}}=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, \qquad L_v=2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

Berechnen Sie die während des Tages evapotranspirierte Wassermasse und die zu ihrer Verdampfung erforderliche Energie.
Erklären Sie, warum dadurch eine Kühlwirkung entsteht.
Berechnen Sie während der zwölf Stunden aktiver Transpiration die mittlere Kühlleistung des Baumes pro Quadratmeter.
Zum Vergleich betrachten wir eine Klimaanlage mit elektrischer Leistungsaufnahme $P_{\mathrm{el}}=7{,}0\times10^2\,\text{W}$ , einer Leistungszahl $\mathrm{COP}=3{,}0$ und einer gekühlten Raumfläche $A_{\mathrm{Raum}}=20\,\text{m}^2$ . Definitionsgemäß gilt $\mathrm{COP}=P_{\mathrm{cool}}/P_{\mathrm{el}}$ . Berechnen Sie die Kühlleistung und die Kühlleistung pro Quadratmeter und vergleichen Sie diese Werte mit denen des Baumes.
Warum kann man nicht folgern, dass Baum und Klimaanlage genau dieselbe empfundene Kühlung bewirken, selbst wenn ihre Leistungen pro Flächeneinheit dieselbe Größenordnung haben?
Kann man eine Wohnung mit vielen Zimmerpflanzen kühlen? (Allgemeinwissen: Die Antwort hängt von biologischen Vorgängen ab.)

Hinweis

Verwenden Sie

m=\rho V

,

Q_{\mathrm{verd}}=mL_v

und

P=Q/\tau

. Für die Klimaanlage gilt

P_{\mathrm{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}}

.

Ausführliche Lösung

Lösung

1. Die entsprechende Wassermasse ist

m=\rho_{\text{Wasser}}V =1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1} =5{,}0\times10^2\,\text{kg}.

Die zur Verdampfung erforderliche Energie beträgt daher

Q_{\mathrm{verd}}=mL_v =5{,}0\times10^2\times2{,}26\times10^6 =1{,}13\times10^9\,\text{J}.

Die Größenordnung ist also ein Gigajoule.

2. Die Verdampfung ist ein endothermer Phasenübergang: Sie benötigt die Energie

Q_{\mathrm{verd}}

. Diese Energie stammt im Wesentlichen aus der von den Blättern absorbierten Sonnenstrahlung: Statt das Blatt zu erwärmen (fühlbare Wärme), wird die aufgenommene Sonnenenergie in latente Verdampfungswärme umgewandelt. Das Blatt bleibt so kühler, als wenn sich die gesamte absorbierte Energie in einem Temperaturanstieg niedergeschlagen hätte, woraus die Kühlwirkung der Evapotranspiration resultiert. 3. Zwölf Stunden entsprechen

\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}

. Damit beträgt die mittlere Kühlleistung

P_{\text{Baum}}=\frac{Q_{\mathrm{verd}}}{\tau} =\frac{1{,}13\times10^9}{4{,}32\times10^4} \approx2{,}62\times10^4\,\text{W},

und bezogen auf die überdeckte Fläche

\frac{P_{\text{Baum}}}{A_{\text{Baum}}} =\frac{2{,}62\times10^4}{50} \approx5{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

Plausibilitätscheck: Da diese Energie im Wesentlichen aus absorbierter Sonnenstrahlung stammt (Frage 2), ist es beruhigend festzustellen, dass $5{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}$ von derselben Größenordnung ist wie die bei klarem Himmel am Boden ankommende Sonneneinstrahlung, die maximal etwa $10^3\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}$ erreicht und im Tagesmittel einige hundert $\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}$ beträgt. Dies bestätigt, dass ein gut mit Wasser versorgter Baum an einem heißen, sonnigen Tag durch Transpiration einen erheblichen Teil der empfangenen Sonnenenergie abführen kann.

4. Die nutzbare Kühlleistung der Klimaanlage ist

P_{\mathrm{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}} =3{,}0\times7{,}0\times10^2 =2{,}1\times10^3\,\text{W}.

Bezogen auf die Raumfläche gilt

\frac{P_{\mathrm{cool}}}{A_{\mathrm{Raum}}} =\frac{2{,}1\times10^3}{20} \approx1{,}1\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

In diesem Modell ist die Evapotranspirationsleistung des Baumes pro Flächeneinheit somit etwa fünfmal so groß wie die einer üblichen Klimaanlage.

5. Der Vergleich betrifft nur Energieflüsse. Die Klimaanlage kühlt einen geschlossenen und kontrollierten Raum, während sich der vom Baum erzeugte Wasserdampf in der Atmosphäre verteilt und der Wind warme Luft heranführt. Die empfundene Wirkung hängt daher von Lüftung, Luftfeuchte, Umgebungstemperatur und Abstand zum Baum ab. Außerdem variiert die Transpiration mit Sonneneinstrahlung, Wind, Luftfeuchte, Baumart und Wasserangebot und kann bei Trockenheit stark abnehmen. Andererseits spendet der Baum Schatten und verringert dadurch unmittelbar die auf Boden und Menschen treffende Sonnenstrahlung. Die berechneten Leistungen ermöglichen also einen Vergleich der Größenordnungen, aber keine exakte Gleichsetzung des thermischen Komforts. 6. In der Praxis wäre die Kühlwirkung von Zimmerpflanzen sehr gering. Bei den meisten Pflanzen fördert Licht die Öffnung der Stomata, kleiner Poren in den Blättern, durch die Wasserdampf entweicht. Innenräume sind meist schwach beleuchtet, sodass sich die Stomata weniger öffnen und die Transpiration abnimmt. In einem schlecht belüfteten Raum bremst zudem die zunehmende Luftfeuchte allmählich die Verdampfung. Viele Pflanzen können daher eine leichte lokale Verdunstungskühlung bewirken, ersetzen aber keine Klimaanlage. Um dem Gebäude dauerhaft Energie zu entziehen, müsste die feuchte Luft nach außen abgeführt werden. Eine intensive künstliche Beleuchtung könnte die Transpiration anregen, doch ihre elektrische Energie würde schließlich fast vollständig als Wärme im Raum enden. An trockene Lebensräume angepasste CAM-Pflanzen, darunter Kakteen, bilden eine Ausnahme: Ihre Stomata öffnen sich hauptsächlich nachts.