Gelöste Thermodynamikaufgabe

Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität eines Metalls mit der Mischungsmethode

Übung 4 · Lektion 2 — Geschichte der Thermodynamik und Kalorimetrie

  • Kalorimetrie
  • Mischungsmethode
  • spezifische Wärmekapazität
  • Kalorimeter
  • Wasserwert

Aufgabenstellung

Wie bereits Joseph Black im 18. Jahrhundert soll die spezifische Wärmekapazität cmc_m eines unbekannten Metalls mit der Mischungsmethode bestimmt werden. Eine Probe der Masse m=0,150 kgm=0{,}150\,\text{kg} wird auf Tm=95 ∘CT_m=95\,^\circ\text{C} erhitzt und rasch in ein Kalorimeter mit me=0,250 kgm_e=0{,}250\,\text{kg} Wasser getaucht. Für das Wasser gilt ce=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c_e=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, seine Anfangstemperatur ist Te=18 ∘CT_e=18\,^\circ\text{C}. Nach Erreichen des thermischen Gleichgewichts wird Teq=22 ∘CT_{eq}=22\,^\circ\text{C} gemessen. Zunächst wird die Wärmekapazität von Gefäß, Rührer und Thermometer vernachlässigt.

  1. Stellen Sie die Energieerhaltung für das isolierte System aus Metall und Wasser auf, wobei cmc_m die einzige Unbekannte ist.
  2. Leiten Sie einen Ausdruck für cmc_m her und berechnen Sie den Zahlenwert. Welchem gebräuchlichen Metall entspricht er ungefähr? Vergleichswerte in J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}: Aluminium 9,0×1029{,}0\times10^2, Eisen 4,5×1024{,}5\times10^2, Kupfer 3,9×1023{,}9\times10^2, Blei 1,3×1021{,}3\times10^2.
  3. Das Kalorimetergefäß nimmt tatsächlich einen Teil der Wärme auf. Dieser Effekt werde durch den Wasserwert μ=1,5×10−2 kg\mu=1{,}5\times10^{-2}\,\text{kg} modelliert: Das Kalorimeter verhält sich wie eine zusätzliche Wassermasse μ\mu. Berechnen Sie cmc_m erneut und erläutern Sie die Richtung der Korrektur.
  4. Warum muss die Probe rasch eingetaucht und das Kalorimeter während der Messung gut gegen die Umgebungsluft isoliert werden?

Hinweis
Das Metall gibt Qm=mcm(Tm−Teq)Q_m=mc_m(T_m-T_{eq}) ab. Diese Wärme wird vollständig vom Wasser und in Aufgabe 3 zusätzlich vom Kalorimeter aufgenommen: Qm=(me+μ)ce(Teq−Te)Q_m=(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e).

Ausführliche Lösung

Lösung
1. Für das isolierte System gilt

mcm(Tm−Teq)=mece(Teq−Te).mc_m(T_m-T_{eq})=m_ec_e(T_{eq}-T_e).

2. Auflösen nach cmc_m liefert

cm=mece(Teq−Te)m(Tm−Teq)=0,250×4,18×103×(22−18)0,150×(95−22)≈3,82×102 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1.c_m=\frac{m_ec_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{0{,}250\times4{,}18\times10^3\times(22-18)}{0{,}150\times(95-22)} \approx3{,}82\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

Dieser Wert liegt sehr nahe bei dem von Kupfer.

3. Mit dem Wasserwert des Kalorimeters ergibt sich

cm=(me+μ)ce(Teq−Te)m(Tm−Teq)=(0,250+0,015)×4,18×103×40,150×73≈4,05×102 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1.c_m=\frac{(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{(0{,}250+0{,}015)\times4{,}18\times10^3\times4}{0{,}150\times73} \approx4{,}05\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

Die Korrektur erhöht cmc_m: Ohne das Gefäß wurde die tatsächlich vom Metall abgegebene Wärme und damit seine spezifische Wärmekapazität unterschätzt.

4. Die Methode setzt während der gesamten Messung ein isoliertes System voraus. Rasches Eintauchen begrenzt den Wärmeaustausch der heißen Probe mit der Luft, bevor sie das Wasser erreicht; eine gute Isolierung begrenzt Verluste, während sich das Gleichgewicht einstellt. Jeder nicht berücksichtigte Wärmestrom verfälscht die Bilanz und den daraus bestimmten Wert von cmc_m. Genau diese experimentelle Sorgfalt zeigten bereits Black sowie später Lavoisier und Laplace mit ihrem Eiskalorimeter.