Aufgabenstellung

Zahlenwerte (bei Atmosphärendruck):

\begin{aligned} c_{\text{Eis}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{Wasser}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

Bei Atmosphärendruck wird ein Kilogramm Eis, das anfangs eine Temperatur von $-100\,{}^\circ\text{C}$ hat, schrittweise erwärmt.

Berechnen Sie die Energie, die erforderlich ist, um das Eis von $-100\,{}^\circ\text{C}$ auf $0\,{}^\circ\text{C}$ zu erwärmen.
Berechnen Sie die Energie, die erforderlich ist, um das Eis bei $0\,{}^\circ\text{C}$ vollständig zu schmelzen.
Berechnen Sie die Energie, die erforderlich ist, um das flüssige Wasser von $0\,{}^\circ\text{C}$ auf $100\,{}^\circ\text{C}$ zu erwärmen.
Berechnen Sie die zusätzliche Energie, die erforderlich ist, um das Wasser bei $100\,{}^\circ\text{C}$ vollständig zu verdampfen.
Welcher Schritt erfordert die meiste Energie? Vergleichen Sie die Energie zum Erwärmen eines Kilogramms Wasser von $0\,{}^\circ\text{C}$ auf $100\,{}^\circ\text{C}$ mit der potenziellen Energie einer Masse $m$ , die zehn Meter tief fällt. Welche Masse $m$ müsste fallen, um dieselbe Energie freizusetzen?
Betrachten Sie nun den umgekehrten Vorgang. Eine Masse $m_v$ Wasserdampf kondensiert auf einer Windschutzscheibe, ohne dass das entstandene flüssige Wasser anschließend abkühlt. Geben Sie die bei der Kondensation freigesetzte Wärme $Q_{\text{frei}}$ an und berechnen Sie sie für $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ . Bei der Temperatur der Windschutzscheibe sei $L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}$ .

Hinweis

Zum Erwärmen einer Phase ohne Phasenübergang gilt

Q=mc\Delta T

. Für einen Phasenübergang bei konstanter Temperatur gilt

Q=mL

. Die potenzielle Energie einer Masse

m

in der Höhe

h

ist

E_p=mgh

; verwenden Sie

g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}

.

Ausführliche Lösung

Lösung

1. Das Erwärmen des Eises bis zu seiner Schmelztemperatur erfordert

Q_1=mc_{\text{Eis}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Während des Schmelzens bleibt die Temperatur bei $0\,{}^\circ\text{C}$ :

Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Zum Erwärmen des flüssigen Wassers von $0$ auf $100\,{}^\circ\text{C}$ gilt

Q_3=mc_{\text{Wasser}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. Die vollständige Verdampfung erfordert zusätzlich

Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Allein dieser Schritt benötigt also eine Energie von einigen Megajoule.

5. Die Verdampfung ist mit Abstand der energieaufwendigste Schritt:

Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

Insbesondere erfordert die Verdampfung etwa $(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4$ -mal so viel Energie wie das Erwärmen des flüssigen Wassers von $0$ auf $100\,{}^\circ\text{C}$ .

Für eine Masse $m$ , die aus einer Höhe $h=10\,\text{m}$ fällt, gilt $E_p=mgh$ . Aus $mgh=Q_3$ folgt

m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Eine Masse von ungefähr $4{,}3$ Tonnen müsste also zehn Meter tief fallen, um ebenso viel Energie freizusetzen, wie zum Erwärmen eines Kilogramms Wasser von $0$ auf $100\,{}^\circ\text{C}$ nötig ist! Das ist enorm und erklärt, warum die Warmwasserbereitung einen bedeutenden Anteil des häuslichen Energieverbrauchs ausmacht. Zudem besitzt Wasser eine sehr große spezifische Wärmekapazität, insbesondere im Vergleich zu üblichen Metallen; sie ist beispielsweise etwa zehnmal so groß wie die von Kupfer (siehe die folgenden Aufgaben).

6. Die Kondensation ist der umgekehrte Vorgang der Verdampfung: Der Dampf gibt die latente Wärme an die Windschutzscheibe ab,

Q_{\text{frei}}=m_vL_v.

Für $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ ergibt sich

Q_{\text{frei}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

Somit kann bereits die Kondensation einer kleinen Dampfmasse eine nicht zu vernachlässigende Wärmemenge freisetzen. Diese Wärme wird von der Windschutzscheibe und ihrer Umgebung aufgenommen.