Gelöste Thermodynamikaufgabe

Eine geladene Kugel und die Frage der Extensivität

Übung 16 · Lektion 4 — Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

Coulomb-Wechselwirkung
elektrostatische Energie
Extensivität
elektrische Neutralität

Aufgabenstellung

Eine Gesamtladung $Q > 0$ ist im Vakuum homogen über das Volumen einer Kugel mit dem Radius $R$ verteilt. Zwangskräfte halten diese Verteilung aufrecht; hier wird nur ihre elektrostatische Energie $U_{el}$ betrachtet. Es handelt sich nicht um eine leitende Kugel, deren Ladungen sich im Gleichgewicht an der Oberfläche anordnen würden.

Die Verteilung wird aufgebaut, indem geladene Schalen aus dem Unendlichen herangeführt werden. Für eine bereits aufgebaute Ladung $Q (r)$ in einer Kugel mit dem Radius $r$ beträgt das Potential an der Oberfläche $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , wobei $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . Die Energie ist null, wenn die Ladungselemente unendlich weit voneinander entfernt sind.

Skizzieren Sie einen Schritt des Aufbaus. Drücken Sie $Q (r)$ und $d Q$ durch $Q, R, r$ und $d r$ aus und berechnen Sie dann $U_{el}$ .
In einem Kontinuumsmodell aus $N$ Bestandteilen gleicher Ladung $q_{0}$ setzen wir $Q = N q_{0}$ . Schreiben Sie bei fester Teilchendichte $R = r_{0} N^{1/3}$ und bestimmen Sie, wie die Energie von $N$ abhängt. Vergleichen Sie ihr Vorzeichen und ihren Homogenitätsgrad mit denen der Gravitation.
Berechnen Sie bei fester Gesamtladung die Energieänderung bei einer Ausdehnung von $R_{A}$ auf $R_{B} > R_{A}$ . Welches Vorzeichen hat die von außen aufgenommene Arbeit, wenn diese Ausdehnung quasistatisch und dissipationsfrei erfolgt? Der Ausdruck für diese Arbeit gibt nur den elektrischen Beitrag wieder.
Für Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens lautet die mikroskopische Wechselwirkungsenergie $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Warum beweist das für eine Kugel mit Ladungen nur eines Vorzeichens gefundene Gesetz nicht, dass jede gewöhnliche Materie nicht extensiv ist? Genügt eine verschwindende Gesamtladung, damit diese Summe verschwindet?

Hinweis

Verwenden Sie

d U_{el} = Φ (r) d Q

. Beim Aufbau Schale für Schale wird jedes Paar genau einmal gezählt. Untersuchen Sie für die letzte Frage ein einfaches Paar von Ladungen

+ q_{0}

und

- q_{0}

im Abstand

a

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die Skizze zeigt die bereits geladene Kugel mit dem Radius

r

und die herangeführte Schale der Dicke

d r

. Die konstante Raumladungsdichte beträgt

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Folglich gilt

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Die Energieänderung beim Hinzufügen ist

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Summiert man die Beiträge vom Mittelpunkt bis zur Oberfläche, so folgt

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Die Wechselwirkung jedes Schichtpaares wird genau einmal gezählt; ein zusätzlicher Faktor $1/2$ ist nicht nötig. Das Ergebnis ist positiv: Um die Ladungen zusammenzubringen, muss man gegen die Abstoßung ankämpfen. Das Produkt $k_{e} Q^{2} / R$ wird in Joule angegeben.

Frage 2. Bei fester Teilchendichte

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

ist

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Einsetzen liefert

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Diese Energie ist vom Grad $5/3$ , also nicht extensiv. Die Energie pro Teilchen wächst wie $N^{2/3}$ . Der Grad ist derselbe wie bei der gravitierenden Kugel, weil beide Potentiale wie $1/ r$ abfallen; das Vorzeichen ist entgegengesetzt, da sich gleichnamige Ladungen abstoßen. Das Kontinuumsmodell beschreibt den kollektiven Beitrag, ohne die Selbstenergien der Punktladungen zu berücksichtigen.

Frage 3. Bei festem

Q

beträgt die Differenz

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

Bei einer quasistatischen, dissipationsfreien Zustandsänderung ist der elektrische Beitrag zur aufgenommenen Arbeit gleich der Änderung der potenziellen Energie. Man kann dies auch durch Integration nachprüfen:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Das äußere System hält die sich abstoßenden Ladungen zurück und nimmt während der Ausdehnung Arbeit auf. Eine andere Energiespeicherung in der Haltevorrichtung ist in dieser elektrischen Bilanz nicht enthalten.

Frage 4. Bei Ladungen gleichen Vorzeichens sind alle Produkte

q_{i} q_{j}

positiv: Ihre Beiträge addieren sich. In elektrisch neutraler Materie gibt es dagegen anziehende und abstoßende Beiträge, die sich auf große Entfernung kompensieren können. Die Neutralität und, in Medien, in denen sie auftritt, die Abschirmung verändern somit die Argumentation, die auf der Addition lauter gleichartiger Terme beruht. Gesamtneutralität bedeutet jedoch nicht

U_{el} = 0

. Zwei Ladungen

+ q_{0}

und

- q_{0}

im Abstand

a

haben die Gesamtladung null, aber die nicht verschwindende Wechselwirkungsenergie

- k_{e} q_{0}^{2} / a

. Um ein Skalierungsgesetz aufzustellen, muss man die Anordnung der Ladungen und ihre Korrelationen kennen. Die Rechnung für die homogen geladene Kugel ist daher weder ein Beweis dafür, dass jede Materie nicht extensiv ist, noch ein Beweis für die Extensivität neutraler Systeme.