Gelöste Thermodynamikaufgabe

Aufbau einer homogenen gravitierenden Kugel

Übung 15 · Lektion 4 — Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

Gravitation
Wechselwirkungsenergie
homogene Kugel
Extensivität
langreichweitig

Aufgabenstellung

Eine Kugel mit dem Radius $R$ enthält eine homogen verteilte Masse $M$ mit der Dichte $ρ_{m}$ . Gesucht ist ihre potenzielle Gravitationsenergie $U_{grav}$ , wobei der Nullpunkt so gewählt wird, dass sie verschwindet, wenn ihre Massenelemente unendlich weit voneinander entfernt sind.

Wir stellen uns vor, die Kugel werde Schale für Schale bei gleichbleibender Dichte aufgebaut. In dem Schritt, in dem der Radius den Wert $r$ erreicht, beträgt die bereits aufgebaute Masse $M (r)$ , und aus dem Unendlichen wird eine Kugelschale der Masse $d M$ herangeführt. Das von der inneren Masse an ihrer Oberfläche erzeugte Potential sei $- GM (r) / r$ . Die Rechnung betrifft nur die Gravitationsenergie; ein mechanisches Gleichgewicht der Kugel wird nicht vorausgesetzt.

Skizzieren Sie die bereits aufgebaute Kugel und die zwischen $r$ und $r + d r$ hinzugefügte Schale. Drücken Sie $ρ_{m}$ , $M (r)$ und $d M$ durch $M, R, r$ und $d r$ aus.
Geben Sie die Wechselwirkungsenergie der Schale mit der inneren Kugel an und integrieren Sie, um $U_{grav}$ zu erhalten. Muss das Ergebnis durch zwei geteilt werden?
Die Kugel enthalte $N$ Bestandteile der Masse $m$ , sodass $M = N m$ . Drücken Sie bei fester Dichte $ρ_{m}$ den Radius $R$ durch $N$ aus und bestimmen Sie dann, wie $U_{grav}$ und $U_{grav} / N$ von $N$ abhängen.
Vergleichen Sie die Energie einer Kugel aus $2 N$ Bestandteilen mit der Summe der Energien zweier unendlich weit voneinander entfernter Kugeln aus je $N$ Bestandteilen, alle mit derselben Dichte. Kommentieren Sie das Vorzeichen der Differenz und die Extensivität.

Hinweis

Die Schale hat das Volumen

4 π r^{2} d r

. Ihre Wechselwirkungsenergie mit der bereits vorhandenen Masse ist

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Beim Abzählen wird jedes Paar genau dann erfasst, wenn sein äußerer Teil hinzugefügt wird.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die Skizze zeigt eine Kugel mit dem Radius

r

und der Masse

M (r)

, umgeben von einer Schicht der Dicke

d r

; der Endradius

R

ist eingetragen. Aus der Homogenität der Dichte folgt

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Die hinzugefügte Masse ist daher

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Frage 2. Das Gravitationspotenzial ist eine Energie pro Masseneinheit. Multipliziert man es mit der herangeführten Masse, so erhält man

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Integriert wird über alle Aufbauradien:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Jede Wechselwirkung zwischen einer neuen und einer inneren Schicht wird genau einmal gezählt. Ein Faktor $1/2$ darf also nicht hinzugefügt werden. Die Selbstenergie einer infinitesimalen Schale ist von der Ordnung $(d M)^{2}$ und trägt im Kontinuumslimes nicht zum Integral bei. Das negative Vorzeichen spiegelt die Anziehung wider; um die Massen zu trennen, muss Energie zugeführt werden. Schließlich hat $G M^{2} / R$ tatsächlich die Einheit Joule.

Frage 3. Bei fester Dichte gilt

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Einsetzen von $M$ und $R$ in die Energie liefert

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

wobei $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ nicht von $N$ abhängt. Die Energie pro Bestandteil ist daher $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Ihr Betrag wächst mit der Größe des Systems: Sie bleibt nicht intensiv.

Frage 4. Die große Kugel hat die Energie

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Für die beiden unendlich weit voneinander entfernten Kugeln verschwindet die gegenseitige Wechselwirkung, und die Summe beträgt

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. Die Differenz ist

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Die große Kugel ist gravitativ stärker gebunden. Dieser Vergleich von Zuständen beschreibt für sich genommen nicht die Dynamik ihrer Vereinigung. Er zeigt, dass $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ gilt: Die Gravitationsenergie ist nicht extensiv. Die Energieerhaltung wird dadurch nicht infrage gestellt; die Extensivität ist eine zusätzliche Annahme, die für diese langreichweitige Wechselwirkung nicht zutrifft.