Gelöste Thermodynamikaufgabe

Eine Fundamentalrelation lesen

Übung 33 · Lektion 7 — Mathematische Struktur: die fundamentalen Beziehungen

Fundamentalrelation
Temperatur
Druck
chemisches Potential
Extensivität
ideales Gas

Aufgabenstellung

Wir betrachten $n$ Mol eines Gases, dessen Entropie durch

S (U, V, n) = n s_{0} + n c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) + n R ln (\frac{V}{n v _{0}})

gegeben ist, wobei $s_{0}$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ und die molare Wärmekapazität $c_{V}$ positive Konstanten sind. Es gilt

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} .

Prüfen Sie direkt nach, dass $S$ extensiv ist.
Leiten Sie die Gleichungen $U = n c_{V} T$ und $P V = n R T$ her.
Berechnen Sie $μ$ und prüfen Sie die Euler-Relation $U = T S - P V + μ n$ nach.
Erklären Sie, warum die Beziehung $P V = n R T$ allein nicht ausreicht, um Temperatur und Druck aus $(U, V, n)$ zu bestimmen.

Hinweis

Ersetzen Sie für die Extensivität

(U, V, n)

durch

(λ U, λV, λn)

. Beachten Sie beim Ableiten nach

n

, dass

n

sowohl vor den Logarithmen als auch in deren Nennern auftritt.

Ausführliche Lösung

Lösung

1. Für

λ > 0

gilt

S (λ U, λV, λn) = λn s_{0} + λn c_{V} ln (\frac{λ U}{λn u _{0}}) + λn R ln (\frac{λV}{λn v _{0}}) .

Die Faktoren $λ$ kürzen sich in den Logarithmen. Es bleibt $S (λ U, λV, λn) = λ S (U, V, n)$ : Die Funktion ist homogen vom Grad eins und somit extensiv.

2. Bei festem

V

und

n

gilt

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n} = n c_{V} \frac{1}{U},

woraus $U = n c_{V} T$ folgt. Ebenso ist

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n} = n R \frac{1}{V} .

Multiplikation mit $T V$ liefert $P V = n R T$ .

3. Bei festem

U

und

V

gilt

(\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} = s_{0} + c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) - c_{V} + R ln (\frac{V}{n v _{0}}) - R .

Somit

μ = T [c_{V} + R - \frac{S}{n}] .

Nun ist $U / n = c_{V} T$ und $P V / n = R T$ . Folglich gilt

T S - P V + μ n = T S - n R T + n T (c_{V} + R - \frac{S}{n}) = n c_{V} T = U .

4. Die Gleichung $P V = n R T$ verknüpft $P$ , $V$ und $T$ , sagt aber nichts darüber aus, wie die Energie von der Temperatur abhängt. Die kalorische Zustandsgleichung $U = n c_{V} T$ liefert die fehlende Information. Eine Fundamentalrelation enthält beide Zustandsgleichungen zugleich und legt außerdem das chemische Potential fest.