দক্ষতা ও কার্যক্ষমতা গুণাঙ্ক: ক্লজিয়াসের অসমতা থেকে কার্নোর সীমা

প্রশ্ন ১। তিনটি কার্যপ্রণালী স্থানান্তরের প্রকৃত দিক দ্বারা পৃথক।

• ইঞ্জিন হিসেবে প্রবাহী উষ্ণ তাপাধার থেকে তাপ গ্রহণ করে, শীতল তাপাধারকে তাপ দেয় এবং কাজ সরবরাহ করে: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ ও $W<0$।
• রেফ্রিজারেটর ও তাপ পাম্প উভয় ক্ষেত্রেই প্রবাহী কাজ গ্রহণ করে, শীতল তাপাধার থেকে তাপ নেয় এবং উষ্ণ তাপাধারকে তাপ দেয়: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ ও $Q_{\mathrm{H}}<0$। যন্ত্র দুটি অভিন্ন; শুধু প্রত্যাশিত সেবা বদলায়: শীতল তাপাধারকে ঠান্ডা করা, নাকি উষ্ণ তাপাধারকে গরম করা।

এক চক্রে প্রবাহী তার প্রাথমিক অবস্থায় ফেরে, তাই তার অভ্যন্তরীণ শক্তি বদলায় না: $\Delta U=0$। প্রথম সূত্র $\Delta U=Q+W$ তিনটি ক্ষেত্রেই দেয়

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

প্রশ্ন ২। ইঞ্জিন হিসেবে $W<0$, তাই $|W|=-W$। প্রথম সূত্র দেয় $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, ফলে

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

রেফ্রিজারেটর বা তাপ পাম্প হিসেবে $W>0$ এবং প্রথম সূত্র দেয় $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$। $Q_{\mathrm{H}}<0$ হওয়ায় $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$। অতএব

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

যেহেতু $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

ইঞ্জিন হিসেবে $Q_{\mathrm{C}}<0$ ও $Q_{\mathrm{H}}>0$, তাই $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ এবং $\eta <1$: সরবরাহ করা কাজ গৃহীত তাপকে ছাড়াতে পারে না, এবং এটুকু নিশ্চিত করতে প্রথম সূত্রই যথেষ্ট। বিপরীতে, কার্যক্ষমতা গুণাঙ্ক $1$ ছাড়াতে পারে: তাপ পাম্প যে তাপ দেয় তা সে তৈরি করে না, শীতল থেকে উষ্ণে সরিয়ে নেয়, এবং গৃহীত কাজ তার একটি অংশ মাত্র। এমনকি সবসময় ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, কারণ ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$।

প্রশ্ন ৩। প্রবাহীটি কেবল দুটি তাপাধারের সঙ্গে তাপ বিনিময় করে একটি চক্র সম্পন্ন করে। ক্লজিয়াসের অসমতা লেখা যায়

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

যেখানে সমতা হয় যদি এবং কেবল যদি চক্রটি প্রত্যাবর্তী হয়। শীতল পদটি আলাদা করে $T_{\mathrm{C}}>0$ দিয়ে গুণ করি, যাতে অসমতার দিক বজায় থাকে:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

ইঞ্জিন হিসেবে $Q_{\mathrm{H}}>0$: $Q_{\mathrm{H}}$ দিয়ে ভাগ করি, এতেও অসমতার দিক বজায় থাকে,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

প্রশ্ন ২-এর রাশিতে বসালে

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

সমতা অর্জিত হয় যদি এবং কেবল যদি ক্লজিয়াসের অসমতা সমতা হয়, অর্থাৎ প্রত্যাবর্তী চক্রের জন্য: কার্যকরী প্রবাহী সম্পর্কে কোনো অনুমান ছাড়াই কার্নোর প্রথম ও তৃতীয় উপপাদ্য আবার পাওয়া যায়। শেষে, $\eta =1$ হলে $Q_{\mathrm{C}}=0$ হতে হতো; তখন ক্লজিয়াসের অসমতা হতো $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, যা $Q_{\mathrm{H}}>0$-এর বিরোধী। এটিই কেলভিন–প্লাঙ্ক বিবৃতি: একটি ইঞ্জিনকে অবশ্যই শীতল তাপাধারকে তাপ দিতে হয়।

প্রশ্ন ৪। এবার ক্লজিয়াসের অসমতায় উষ্ণ পদটি আলাদা করে $T_{\mathrm{H}}>0$ দিয়ে গুণ করি:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

বিপরীত রাশিতে যাওয়ার সময় অসমতার দিক উল্টে যায়। দুই পক্ষে $-Q_{\mathrm{C}}$ যোগ করে $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ ব্যবহার করি:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

দুই পক্ষই ধনাত্মক। $W>0$ দিয়ে ভাগ করে তারপর $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$ দিয়ে গুণ করি:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

প্রশ্ন ২-এর সম্পর্ক ব্যবহার করে,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

ইঞ্জিনের মতোই, কেবল একটি প্রত্যাবর্তী যন্ত্র এই সীমাগুলিতে পৌঁছায়।

প্রশ্ন ৫। $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$ হলে দক্ষতার সীমা $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ শূন্যের দিকে যায়: তাপমাত্রার পার্থক্য ছাড়া কোনো কাজ উৎপাদন করা যায় না। বিপরীতে, দুই COP-এর সীমা, যাদের হর $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ শূন্যের দিকে যায়, অসীমের দিকে যায়: একই তাপমাত্রার দুটি বস্তুর মধ্যে তাপ সরাতে প্রত্যাবর্তী সীমায় কোনো কাজ লাগে না। $T_{\mathrm{C}}\to 0$ হলে দক্ষতার সীমা $1$-এর দিকে যায়, এবং ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$-এর সীমা $0$-এর দিকে: ক্রমশ শীতলতর বস্তু থেকে তাপ নিষ্কাশন করতে নিষ্কাশিত প্রতি জুলে ক্রমশ বেশি কাজ লাগে; পরম শূন্যের দিকে ঠান্ডা করা ক্রমশ ব্যয়বহুল হয়ে ওঠে। প্রশ্ন ৬। রেফ্রিজারেটরের জন্য

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

ফ্রিজারের জন্য

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

নিষ্কাশিত প্রতি জুল তাপের জন্য ব্যয়িত কাজ $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$। দুটি ন্যূনতম ব্যয়ের অনুপাত তাই $18,5/6,7\approx 2,8$: আদর্শ হলেও, একই তাপ নিষ্কাশন করতে ফ্রিজার রেফ্রিজারেটরের প্রায় তিন গুণ কাজ ব্যয় করে, কারণ অতিক্রম করতে হওয়া তাপমাত্রার পার্থক্য দ্বিগুণেরও বেশি। বাস্তব যন্ত্রগুলি অপ্রত্যাবর্তী এবং এই সীমাগুলির বেশ নিচে থাকে।