সম্ভাব্য মৌলিক সম্পর্কগুলি বাছাই

প্রশ্ন ১। সব ব্যাপক চলককে $\lambda >0$ দিয়ে গুণ করি। সম্পর্ক (1)-এর জন্য

$$a\sqrt{(\lambda N)(\lambda U)(\lambda V)}=a\sqrt{{\lambda }^{3}NUV}={\lambda }^{3/2}a\sqrt{NUV}.$$

এটি $3/2$ ঘাতের সমঘাত, এক ঘাতের নয়: তন্ত্রের আকার দ্বিগুণ করলে তার এনট্রপি $2^{3/2}\approx 2,8$ গুণ হতো। এটি ব্যাপক নয় এবং বাতিল করতে হবে।

সম্পর্ক (2)-এর জন্য

$$b\frac{(\lambda N{)}^3}{(\lambda U)(\lambda V)}=b\frac{{\lambda }^3{N}^3}{{\lambda }^{2}UV}=\lambda b\frac{N^3}{UV}.$$

এটি সত্যিই ব্যাপক। কিন্তু $U$-এর সাপেক্ষে এর অবকলজ

$$\frac{1}{T}={\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)}_{V,N}=-b\frac{N^3}{U^{2}V}<0,$$

যা ঋণাত্মক তাপমাত্রা দিত। এটিও বাতিল করতে হবে।

সম্পর্ক (3)-এর জন্য

$$a\frac{(\lambda S{)}^4}{(\lambda N)(\lambda V{)}^2}=a\frac{{\lambda }^4{S}^4}{{\lambda }^{3}N{V}^2}=\lambda a\frac{S^4}{N{V}^2}.$$

এটি ব্যাপক। প্রশ্ন ৩-এ আমরা যাচাই করব যে এর তাপমাত্রা ধনাত্মক: এটিই একমাত্র গ্রহণযোগ্য সম্পর্ক।

প্রশ্ন ২। অন্য দুটি চলক স্থির রেখে $U=a{S}^4{N}^{-1}{V}^{-2}$-কে প্রতিটি চলকের সাপেক্ষে অবকলন করি:

$$T={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_{V,N}=\frac{4a{S}^3}{N{V}^2},P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{S,N}=-a\frac{S^4}{N}\cdot (-2)V^{-3}=\frac{2a{S}^4}{N{V}^3},\mu ={\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)}_{S,V}=a\frac{S^4}{V^2}\cdot (-1)N^{-2}=-\frac{a{S}^4}{N^2{V}^2}.$$

$S$, $V$ ও $N$-কে $\lambda$ দিয়ে গুণ করি। $T$-এর লব ${\lambda }^3$ গুণক পায় এবং হরও তাই: $T$ অপরিবর্তিত। $P$-এর জন্য পাই ${\lambda }^4/{\lambda }^{1+3}=1$, এবং $\mu$-এর জন্য ${\lambda }^4/{\lambda }^{2+2}=1$। অতএব তিনটি রাশিই নিবিড়।

$U=a{S}^4/(N{V}^2)$-এর সঙ্গে তুলনা করে চেনা যায়

$$TS=\frac{4a{S}^4}{N{V}^2}=4U,PV=\frac{2a{S}^4}{N{V}^2}=2U,\mu N=-\frac{a{S}^4}{N{V}^2}=-U,$$

ফলে $TS-PV+\mu N=4U-2U-U=U$: অয়লারের সম্পর্ক যাচাই হলো।

প্রশ্ন ৩। $a>0$, $N>0$, $V^2>0$ এবং $S\ge 0$ হওয়ায় $T=4a{S}^3/(N{V}^2)\ge 0$, এবং সমতা কেবল $S=0$-এর জন্য। $S>0$ হলে অবকলজ $(\partial U/\partial S{)}_{V,N}=T$ কঠোরভাবে ধনাত্মক: $V$ ও $N$ স্থির থাকলে $U$ হলো $S$-এর একটি কঠোরভাবে বর্ধমান অপেক্ষক। তাই একে উল্টানো যায়। $1/4$ ঘাতে তুলে,

$$S(U,V,N)={\left(\frac{N{V}^{2}U}{a}\right)}^{1/4}.$$

$S$ যখন $0$-এর দিকে যায়, $T=4a{S}^3/(N{V}^2)$ তখন $0$-এর দিকে যায়: শূন্য তাপমাত্রায় এনট্রপি শূন্য হয়, যেমনটি তৃতীয় সূত্র দাবি করে, যার সঙ্গে আমরা পরে পরিচিত হব।

প্রশ্ন ৪। $T$ ও $P$-এর রাশি থেকে $S$ অপসারণ করতে হবে। $T$-এর রাশি দেয়

$$S^3=\frac{TN{V}^2}{4a}⟹S={\left(\frac{TN{V}^2}{4a}\right)}^{1/3}.$$

যেহেতু $S^4=S\cdot S^3$, $P$-তে বসাই:

$$P=\frac{2a}{N{V}^3}{S}^4=\frac{2a}{N{V}^3}\cdot \frac{TN{V}^2}{4a}\cdot S=\frac{T}{2V}{\left(\frac{TN{V}^2}{4a}\right)}^{1/3}.$$

মূল দূর করতে ঘন করি:

$$P^3=\frac{T^3}{8V^3}\cdot \frac{TN{V}^2}{4a}=\frac{N{T}^4}{32aV},\text{অর্থাৎ}32a{P}^{3}V=N{T}^4.$$

এই তন্ত্রের জন্য এটি আদর্শ গ্যাসের $PV=N{k}_{B}T$ সমীকরণের অনুরূপ।

প্রশ্ন ৫। প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় রেখা বরাবর এনট্রপি ধ্রুব, এবং $N$ স্থির। তাই

$$P=\frac{2a{S}^4}{N}\cdot \frac{1}{V^3}$$

রাশিতে $2a{S}^4/N$ গুণকটি ধ্রুব, ফলে

$$P{V}^3=\text{const}.$$

$(P,V)$ চিত্রে প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় রেখাগুলি $P\propto V^{-3}$ বক্ররেখা, যা একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের $P\propto V^{-5/3}$ রুদ্ধতাপীয় রেখার চেয়ে খাড়া।