তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

একটি রুদ্ধতাপীয় রেখায় ম্যাক্সওয়েলের সম্পর্ক যাচাই

অনুশীলনী 35 · পাঠ 7 — গাণিতিক গঠন: মৌলিক সম্পর্কসমূহ

প্রশ্ন

নির্দিষ্ট সংযুতির একটি বদ্ধ তন্ত্রের জন্য

d U = T d S - P d V .

ধ্রুব মোলার তাপধারণ ক্ষমতা $c_{V}$ বিশিষ্ট একটি আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করা যাক এবং $γ = c_{P} / c_{V}$ লেখা যাক, যেখানে $c_{P} - c_{V} = R$ ।

$U (S, V)$ -এর অন্তরক থেকে ম্যাক্সওয়েলের সম্পর্কটি নির্ণয় করুন: $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
$T V^{γ - 1} = const$ থেকে বাম পক্ষ হিসাব করুন।
ধ্রুব আয়তনে $P = n R T / V$ ও $d S = n c_{V} d T / T$ ব্যবহার করে আলাদাভাবে ডান পক্ষ হিসাব করুন।
যাচাই করুন যে দুটি ফল মিলে যায়।

ইঙ্গিত

প্রশ্ন ১-এ

T = (\partial U / \partial S)_{V}

ও

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

শনাক্ত করুন, তারপর অবকলনের ক্রম অদলবদল করুন।

সমাধান

১.

U

-এর স্বাভাবিক চলক

S

ও

V

। তাই

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

$U$ -এর মিশ্র অবকলজগুলি সমান হওয়ায়

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

২. একটি প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় রেখায় $T V^{γ - 1} = K$ । ধ্রুব এনট্রপিতে অন্তরকলন করলে

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

$V^{γ - 1} d V$ দিয়ে ভাগ করার পর

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

৩. ধ্রুব আয়তনে $P = n R T / V$ , তাই

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

আবার ধ্রুব আয়তনে $d S = n c_{V} d T / T$ , ফলে $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ । অতএব

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

৪. মায়ারের সম্পর্ক দেয় $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ । তাই ডান পক্ষ $- (γ - 1) T / V$ , ঠিক বাম পক্ষের মতো।