তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

একটি মৌলিক সম্পর্ক পড়া

অনুশীলনী 33 · পাঠ 7 — গাণিতিক গঠন: মৌলিক সম্পর্কসমূহ

মৌলিক সম্পর্ক
তাপমাত্রা
চাপ
রাসায়নিক বিভব
ব্যাপকতা
আদর্শ গ্যাস

প্রশ্ন

$n$ মোল একটি গ্যাস বিবেচনা করা যাক, যার এনট্রপি

S (U, V, n) = n s_{0} + n c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) + n R ln (\frac{V}{n v _{0}}),

যেখানে $s_{0}$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ এবং মোলার তাপধারণ ক্ষমতা $c_{V}$ ধনাত্মক ধ্রুবক। মনে রাখুন যে

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} .

সরাসরি যাচাই করুন যে $S$ ব্যাপক।
$U = n c_{V} T$ ও $P V = n R T$ সমীকরণ দুটি আবার নির্ণয় করুন।
$μ$ হিসাব করুন এবং অয়লারের সম্পর্ক $U = T S - P V + μ n$ যাচাই করুন।
ব্যাখ্যা করুন, কেন শুধু $P V = n R T$ সম্পর্কটি $(U, V, n)$ থেকে তাপমাত্রা ও চাপ নির্ণয়ের জন্য যথেষ্ট নয়।

ইঙ্গিত

ব্যাপকতার জন্য

(U, V, n)

-এর জায়গায়

(λ U, λV, λn)

বসান।

n

-এর সাপেক্ষে অবকলনের সময় মনে রাখুন যে

n

লগারিদমগুলির সামনে এবং তাদের হরেও উপস্থিত।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

১.

λ > 0

-এর জন্য

S (λ U, λV, λn) = λn s_{0} + λn c_{V} ln (\frac{λ U}{λn u _{0}}) + λn R ln (\frac{λV}{λn v _{0}}) .

লগারিদমগুলির ভেতরে $λ$ গুণকগুলি কেটে যায়। থাকে $S (λ U, λV, λn) = λ S (U, V, n)$ : অপেক্ষকটি সত্যিই এক ঘাতের সমঘাত, তাই ব্যাপক।

২.

V

ও

n

স্থির রেখে

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n} = n c_{V} \frac{1}{U},

ফলে $U = n c_{V} T$ । একইভাবে

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n} = n R \frac{1}{V} .

$T V$ দিয়ে গুণ করলে পাই $P V = n R T$ ।

৩.

U

ও

V

স্থির রেখে

(\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} = s_{0} + c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) - c_{V} + R ln (\frac{V}{n v _{0}}) - R .

অতএব

μ = T [c_{V} + R - \frac{S}{n}] .

আবার $U / n = c_{V} T$ এবং $P V / n = R T$ । ফলে

T S - P V + μ n = T S - n R T + n T (c_{V} + R - \frac{S}{n}) = n c_{V} T = U .

৪. $P V = n R T$ সমীকরণ $P$ , $V$ ও $T$ -কে যুক্ত করে, কিন্তু শক্তি তাপমাত্রার উপর কীভাবে নির্ভর করে তা বলে না। তাপীয় সম্পর্ক $U = n c_{V} T$ অনুপস্থিত তথ্যটি জোগায়। একটি মৌলিক সম্পর্ক এই দুটি অবস্থার সমীকরণ একসঙ্গে ধারণ করে এবং রাসায়নিক বিভবও নির্ধারণ করে।