তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

একটি নমুনা মৌলিক সম্পর্ক: অবস্থার সমীকরণ, অয়লার ও গিবস–ডুহেম

অনুশীলনী 37 · পাঠ 7 — গাণিতিক গঠন: মৌলিক সম্পর্কসমূহ

মৌলিক সম্পর্ক
এনট্রপি উপস্থাপন
শক্তি উপস্থাপন
অবস্থার সমীকরণ
ব্যাপকতা
অয়লারের সম্পর্ক
গিবস-ডুহেম সম্পর্ক
রাসায়নিক বিভব

প্রশ্ন

পরিবর্তনশীল কণাসংখ্যা $N$ বিশিষ্ট একটি সরল তন্ত্র বিবেচনা করা যাক, যার এনট্রপি উপস্থাপনে মৌলিক সম্পর্ক

S (U, V, N) = A (N V)^{1/4} U^{1/2},

যেখানে $A > 0$ একটি ধ্রুবক এবং $U > 0$ , $V > 0$ ও $N > 0$ । এই শিক্ষামূলক মডেলটি কোনো বাস্তব পদার্থ বর্ণনা করে না; এটি একটি সম্পূর্ণ গণনাযোগ্য উদাহরণে পাঠে প্রতিষ্ঠিত সাধারণ ধর্মগুলি যাচাই করার সুযোগ দেয়। অন্তরক রূপে মৌলিক সম্পর্কটি মনে রাখুন:

d S = \frac{1}{T} d U + \frac{P}{T} d V - \frac{μ}{T} d N .

দেখান যে এই সম্পর্কটি ব্যাপক, অর্থাৎ $S$ হলো $(U, V, N)$ -এর এক ঘাতের সমঘাত অপেক্ষক। যাচাই করুন যে $S$ হলো $U$ -এর একটি বর্ধমান অপেক্ষক, এবং সেখান থেকে তাপমাত্রার চিহ্ন নির্ণয় করুন।
এনট্রপি উপস্থাপনে $U$ , $V$ ও $N$ -এর সাহায্যে তিনটি অবস্থার সমীকরণ $1/ T$ , $P / T$ ও $μ / T$ হিসাব করুন।
মৌলিক সম্পর্কটি উল্টে $U (S, V, N)$ নির্ণয় করুন। তারপর শক্তি উপস্থাপনে $S$ , $V$ ও $N$ -এর সাহায্যে $T$ , $P$ ও $μ$ হিসাব করুন এবং যাচাই করুন যে প্রশ্ন ২-এর ফলগুলিই আবার পাওয়া যায়।
অয়লারের সম্পর্ক $U = T S - P V + μ N$ যাচাই করুন, তারপর এনট্রপি উপস্থাপনে এর রূপ $S = U / T + P V / T - μ N / T$ ।
$s = S / N$ ও $v = V / N$ ধরুন। $s$ ও $v$ -এর সাহায্যে $T$ , $P$ ও $μ$ প্রকাশ করুন, তারপর দেখান যে $μ = - P v$ । $s$ ও $v$ অপসারণ করে কেবল $T$ ও $P$ -এর সাহায্যে $μ$ নির্ণয় করুন।
এই ফলের উপর গিবস–ডুহেম সম্পর্ক $S d T - V d P + N d μ = 0$ যাচাই করুন। নিবিড় চলক $T$ , $P$ ও $μ$ -এর জন্য এর অর্থ কী?

ইঙ্গিত

সম্পর্কটি উল্টাতে

S = A (N V)^{1/4} U^{1/2}

-কে বর্গ করুন। শক্তি উপস্থাপনে

T = (\partial U / \partial S)_{V, N}

P = - (\partial U / \partial V)_{S, N}

এবং

μ = (\partial U / \partial N)_{S, V}

। প্রশ্ন ৬-এর জন্য, গিবস–ডুহেম সম্পর্ক

d μ = - s d T + v d P

-এর সমতুল্য।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। তিনটি চলককে

λ > 0

দিয়ে গুণ করি:

S (λ U, λV, λ N) = A (λ N \cdot λV)^{1/4} (λ U)^{1/2} = A λ^{1/2} (N V)^{1/4} λ^{1/2} U^{1/2} = λ S (U, V, N) .

অতএব $S$ এক ঘাতের সমঘাত: সম্পর্কটি ব্যাপক। $V$ ও $N$ স্থির থাকলে $S$ হলো $U^{1/2}$ -এর সমানুপাতিক, যা $U$ -এর একটি কঠোরভাবে বর্ধমান অপেক্ষক। তাই এর অবকলজ $(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T$ ধনাত্মক, ফলে $T > 0$ ।

প্রশ্ন ২। অন্য দুটি চলক স্থির রেখে

S = A N^{1/4} V^{1/4} U^{1/2}

-কে প্রতিটি চলকের সাপেক্ষে অবকলন করি:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, N} = \frac{A}{2} (N V)^{1/4} U^{- 1/2}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, N} = \frac{A}{4} N^{1/4} V^{- 3/4} U^{1/2}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial N})_{U, V} = \frac{A}{4} N^{- 3/4} V^{1/4} U^{1/2} ⟹ \frac{μ}{T} = - \frac{A}{4} N^{- 3/4} V^{1/4} U^{1/2} .

অতএব এই মডেলের রাসায়নিক বিভব ঋণাত্মক।

প্রশ্ন ৩। সম্পর্কটিকে বর্গ করলে

S^{2} = A^{2} (N V)^{1/2} U

, ফলে

U (S, V, N) = \frac{S ^{2}}{A ^{2} N V} = \frac{S ^{2}}{A ^{2}} N^{- 1/2} V^{- 1/2} .

আংশিক অবকলজগুলি দেয়

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V, N} = \frac{2 S}{A ^{2} N V}, P = - (\frac{\partial U}{\partial V})_{S, N} = \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 1/2} V^{- 3/2}, μ = (\frac{\partial U}{\partial N})_{S, V} = - \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 3/2} V^{- 1/2} .

তাপমাত্রার জন্য প্রশ্ন ২-এর সঙ্গে মিল যাচাই করি। $U = S^{2} / (A^{2} N V)$ হলে $U^{1/2} = S / (A (N V)^{1/4})$ , তাই

\frac{1}{T} = \frac{A}{2} (N V)^{1/4} \cdot \frac{A ( N V ) ^{1/4}}{S} = \frac{A ^{2} N V}{2 S},

যা সত্যিই $T = 2 S / (A^{2} N V)$ -এর বিপরীত রাশি। চাপের জন্য $P / T$ -কে $T$ দিয়ে গুণ করি:

P = \frac{2 S}{A ^{2} N V} \cdot \frac{A}{4} N^{1/4} V^{- 3/4} \cdot \frac{S}{A ( N V ) ^{1/4}} = \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 1/2} V^{- 3/2} .

একইভাবে,

μ = - \frac{2 S}{A ^{2} N V} \cdot \frac{A}{4} N^{- 3/4} V^{1/4} \cdot \frac{S}{A ( N V ) ^{1/4}} = - \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 3/2} V^{- 1/2} .

দুটি উপস্থাপন সত্যিই একই অবস্থার সমীকরণ দেয়।

প্রশ্ন ৪। প্রশ্ন ৩ এবং

U = S^{2} / (A^{2} N V)

ব্যবহার করে প্রতিটি পদ হিসাব করি:

T S = \frac{2 S ^{2}}{A ^{2} N V} = 2 U, P V = \frac{S ^{2}}{2 A ^{2} N V} = \frac{U}{2}, μ N = - \frac{S ^{2}}{2 A ^{2} N V} = - \frac{U}{2} .

অতএব

T S - P V + μ N = 2 U - \frac{U}{2} - \frac{U}{2} = U,

যা অয়লারের সম্পর্ক। এনট্রপি উপস্থাপনে,

\frac{U}{T} + \frac{P V}{T} - \frac{μ N}{T} = \frac{U + P V - μ N}{T} = \frac{U + U /2 + U /2}{T} = \frac{2 U}{T} .

আবার $T S = 2 U$ , তাই $2 U / T = S$ : দুই উপস্থাপনেই অয়লারের সম্পর্ক যাচাই হলো। এই ফল কাকতালীয় নয়: $S$ এক ঘাতের সমঘাত হওয়ায় এটি অয়লারের উপপাদ্য থেকে আসে।

প্রশ্ন ৫। প্রশ্ন ৩-এর রাশিগুলিতে

S = N s

ও

V = N v

বসাই। যেহেতু

N V = N v

T = \frac{2 N s}{A ^{2} N v} = \frac{2 s}{A ^{2} v}, P = \frac{N ^{2} s ^{2}}{2 A ^{2}} \cdot N^{- 1/2} \cdot N^{- 3/2} v^{- 3/2} = \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v ^{3/2}}, μ = - \frac{N ^{2} s ^{2}}{2 A ^{2}} \cdot N^{- 3/2} \cdot N^{- 1/2} v^{- 1/2} = - \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v} .

ব্যাপকতার দাবি অনুযায়ী নিবিড় রাশিগুলি কেবল প্রতি কণার রাশি $s$ ও $v$ -এর উপর নির্ভর করে। $P$ ও $μ$ তুলনা করে,

P v = \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v ^{3/2}} v = \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v} = - μ, অর্থাৎ μ = - P v .

এবার $s$ ও $v$ অপসারণ করি। $T$ -এর রাশি দেয় $s = \frac{1}{2} A^{2} T v$ । একে $P$ -তে বসালে:

P = \frac{1}{2 A ^{2} v ^{3/2}} \cdot \frac{A ^{4} T ^{2} v}{4} = \frac{A ^{2} T ^{2}}{8 v} ⟹ v = \frac{A ^{2} T ^{2}}{8 P} ⟹ v = \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P ^{2}} .

তারপর

s = \frac{1}{2} A^{2} T v = \frac{1}{2} A^{2} T \cdot \frac{A ^{2} T ^{2}}{8 P} = \frac{A ^{4} T ^{3}}{16 P} .

শেষে,

μ = - P v = - P \cdot \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P ^{2}} = - \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P} .

প্রশ্ন ৬। গিবস–ডুহেম সম্পর্ককে $N$ দিয়ে ভাগ করলে তা লেখা যায় $d μ = - s d T + v d P$ । তাই এটি আরোপ করে

(\frac{\partial μ}{\partial T})_{P} = - s, (\frac{\partial μ}{\partial P})_{T} = v .

$μ (T, P) = - A^{4} T^{4} / (64 P)$ -কে অবকলন করি। $P$ স্থির রেখে,

(\frac{\partial μ}{\partial T})_{P} = - \frac{4 A ^{4} T ^{3}}{64 P} = - \frac{A ^{4} T ^{3}}{16 P} = - s .

$T$ স্থির রেখে, $1/ P$ -এর অবকলজ $- 1/ P^{2}$ হওয়ায়,

(\frac{\partial μ}{\partial P})_{T} = \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P ^{2}} = v .

দুটি সমতাই যাচাই হলো। গিবস–ডুহেম সম্পর্কের অর্থ হলো তিনটি নিবিড় চলক $T$ , $P$ ও $μ$ পরস্পর স্বাধীন নয়: একটিমাত্র প্রজাতির সমসত্ত্ব দশায় $μ$ সম্পূর্ণভাবে $T$ ও $P$ দ্বারা নির্ধারিত। নিবিড় স্বাধীনতার মাত্রা কেবল দুটি।