তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

সমএনট্রপীয় প্রসারণ এবং একটি মৌলিক সম্পর্কের পুনর্গঠন

অনুশীলনী 38 · পাঠ 7 — গাণিতিক গঠন: মৌলিক সম্পর্কসমূহ

মৌলিক সম্পর্ক
সমএনট্রপীয় প্রসারণ
অবস্থার সমীকরণ
এনট্রপি উপস্থাপন
সমাকলনযোগ্যতার শর্ত
মোলার রাশি

প্রশ্ন

অংশ ক। একটি তন্ত্র নিচের মোলার মৌলিক সম্পর্ক দ্বারা বর্ণিত:

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

যেখানে $u$ , $v$ ও $s$ যথাক্রমে মোলার অভ্যন্তরীণ শক্তি, আয়তন ও এনট্রপি, $A > 0$ একটি ধ্রুবক এবং $R$ আদর্শ গ্যাস ধ্রুবক। প্রাথমিক অবস্থা $T_{0}$ তাপমাত্রা ও $P_{0}$ চাপ দ্বারা চিহ্নিত।

$u$ ও $v$ -এর সাহায্যে $T$ ও $P$ প্রকাশ করুন। সেখান থেকে $P$ , $v$ ও $T$ -কে যুক্ত করা অবস্থার সমীকরণ নির্ণয় করুন।
তন্ত্রটিকে একটি সমএনট্রপীয় প্রসারণের মধ্য দিয়ে নেওয়া হয়, যতক্ষণ না তার চাপ আট ভাগের এক ভাগ হয়। কেবল $T_{0}$ -এর সাহায্যে চূড়ান্ত তাপমাত্রা প্রকাশ করুন।

অংশ খ। নির্দিষ্ট পদার্থের পরিমাণের আরেকটি তন্ত্র নিচের দুটি অবস্থার সমীকরণ মেনে চলে:

U = 2 P V, P = B T^{3},

যেখানে $B > 0$ একটি ধ্রুবক।

$U$ ও $V$ -এর সাহায্যে $1/ T$ ও $P / T$ প্রকাশ করুন।
একটি মৌলিক সম্পর্ক $S (U, V)$ থাকতে পারে কেবল তখনই, যদি মিশ্র অবকলজগুলি সমান হয়: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ । এই শর্ত যাচাই করুন।
একটি ধ্রুবক পর্যন্ত মৌলিক সম্পর্ক $S (U, V)$ নির্ণয় করুন। যাচাই করুন যে এটি সত্যিই দুটি অবস্থার সমীকরণ ফিরিয়ে দেয়, তারপর যে এটি ব্যাপক।

ইঙ্গিত

অংশ ক:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

এবং

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; সমএনট্রপীয় রেখা বরাবর

s

স্থির এবং সবকিছু

v

-এর সাহায্যে প্রকাশ করা যায়। অংশ খ:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

। প্রথমে

V

স্থির রেখে

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

-এর সমাকলন করুন এবং একটি অপেক্ষক

f (V)

যোগ করুন, তারপর

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

দিয়ে

f

নির্ণয় করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১।

v

স্থির থাকলে

s

-এর সাপেক্ষে

e^{s / (3 R)}

-এর অবকলজ

e^{s / (3 R)} / (3 R)

, ফলে

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

$s$ স্থির থাকলে $v^{- 1/2}$ -এর অবকলজ $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ , ফলে

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

প্রথম সম্পর্কটি দেয় $u = 3 R T$ । একে দ্বিতীয়টিতে বসালে,

P = \frac{3 R T}{2 v}, অর্থাৎ P v = \frac{3}{2} R T .

প্রশ্ন ২। সমএনট্রপীয় রেখা বরাবর $s$ ধ্রুব, তাই $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ হলো $v^{- 1/2}$ -এর সমানুপাতিক। ফলে

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

চাপকে আট ভাগের এক ভাগ করতে হলে

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

তাপমাত্রা $v^{- 1/2}$ -এর সমানুপাতিক হওয়ায়,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

প্রশ্ন ৩। দুটি অবস্থার সমীকরণ দেয় $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ , ফলে

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

অন্যদিকে $P / T = B T^{2}$ , এবং $T$ বসালে,

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

প্রশ্ন ৪। $U$ স্থির রেখে $V$ -এর সাপেক্ষে $1/ T$ -কে অবকলন করি:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

$V$ স্থির রেখে $U$ -এর সাপেক্ষে $P / T$ -কে অবকলন করি:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

যেহেতু $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , প্রথম ফলটিকে $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ হিসেবেও লেখা যায়: দুটি মিশ্র অবকলজ সমান। তাই $(1/ T) d U + (P / T) d V$ রূপটি একটি অপেক্ষক $S (U, V)$ -এর অন্তরক হতে পারে। যদৃচ্ছভাবে বেছে নেওয়া দুটি অবস্থার সমীকরণ সাধারণত এই শর্ত মেনে চলে না।

প্রশ্ন ৫।

V

স্থির রেখে

U

-এর সাপেক্ষে

1/ T

-এর সমাকলন করি।

U^{- 1/3}

-এর একটি আদিম অপেক্ষক

\frac{3}{2} U^{2/3}

, ফলে

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

যেখানে $f$ কেবল $V$ -এর একটি অপেক্ষক। $V$ -এর সাপেক্ষে অবকলন করি:

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

আবার $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : প্রথম পদটি ঠিক $P / T$ । তাই $f^{'} (V) = 0$ হতে হবে, অর্থাৎ $f$ ধ্রুবক, এবং

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

বিপরীতক্রমে, এই অপেক্ষকের অবকলজগুলি প্রশ্ন ৩-এর $1/ T$ ও $P / T$ ফিরিয়ে দেয়, তাই প্রারম্ভিক দুটি অবস্থার সমীকরণও। শেষে, $U$ ও $V$ -কে $λ$ দিয়ে গুণ করলে $V U^{2}$ গুণফল $λ^{3}$ গুণ হয় এবং তার ঘনমূল $λ$ গুণ হয়: যোগাত্মক ধ্রুবক বাদে $S$ এক ঘাতের সমঘাত, তাই ব্যাপক।