মহাবিশ্বে ফোটন গ্যাস

মহাবিশ্বের আদি মুহূর্তগুলিতে পদার্থ ছিল নিউক্লিয়াস, ইলেকট্রন ও ফোটনের একটি উত্তপ্ত প্লাজমা। প্রায় $T_i\approx 3000\mathrm{K}$ তাপমাত্রায় প্রথম পরমাণুগুলি গঠিত হয় এবং ফোটনগুলি মুক্ত হয়ে যায়। ধরা হয় যে সেই মুহূর্তে ফোটন গ্যাস $T_i$ তাপমাত্রায় সাম্যে ছিল, তারপর মহাবিশ্বের প্রসারণের সঙ্গে সঙ্গে তা একটি প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের মধ্য দিয়ে যায়। এর মৌলিক সম্পর্কটি মেনে নিন:

যেখানে $a$ একটি মাত্রাযুক্ত ধনাত্মক ধ্রুবক। এনট্রপি ফোটনের সংখ্যা $N$-এর উপর নির্ভর করে না: এই সংখ্যা সংরক্ষিত নয়।

1. এক ঘাতের সমঘাত অপেক্ষকের সংজ্ঞা স্মরণ করুন এবং দেখান যে $S$ এমন একটি অপেক্ষক।
2. $V$ স্থির রেখে $U$-এর অপেক্ষক হিসেবে $S$-এর লেখচিত্রের আকৃতি আঁকুন। এই অপেক্ষক কি অবতল? মন্তব্য করুন।
3. $S$-এর অবকলজ থেকে $T$, $P$ ও $\mu$ নির্ণয় করুন। বিশেষত দেখান যে $U=a^{4}V{T}^4$ এবং $P=U/(3V)$, তারপর $\mu$-এর মান নিয়ে মন্তব্য করুন।
4. এই গ্যাসের জন্য প্রথম সূত্র লিখুন এবং প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের জন্য তা বিশেষায়িত করুন। সেখান থেকে এই রূপান্তর বরাবর $U$ ও $V$-এর একটি সম্পর্ক নির্ণয় করুন।
5. সেখান থেকে দেখান যে প্রসারণ বরাবর $V{T}^3$ ধ্রুব থাকে।
6. $T$ ও $V$-এর সাহায্যে প্রকাশিত এনট্রপি থেকে সরাসরি এই ফলটি আবার নির্ণয় করুন।
7. ফোটন গ্যাস আজ $T_f\approx 3\mathrm{K}$ তাপমাত্রায় পর্যবেক্ষিত হয়: এটিই মহাজাগতিক পটভূমি বিকিরণ। নিঃসরণের পর থেকে মহাবিশ্বের আয়তন কত গুণ হয়েছে?