তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

তন্ত্রের আকার বদলানো

অনুশীলনী 7 · পাঠ 3 — মৌলিক ধারণাসমূহ

ব্যাপকতা
নিবিড়তা
সমঘাততা
পৃষ্ঠতল
মাত্রিক বিশ্লেষণ

প্রশ্ন

একটি সাধারণ সমসত্ত্ব তন্ত্রের ভর $m$ , আয়তন $V$ , কণাসংখ্যা $N$ , অভ্যন্তরীণ শক্তি $U$ , তাপমাত্রা $T$ এবং চাপ $P$ । এখানে $U$ -কে ব্যাপক ধরা হয়েছে, অর্থাৎ দীর্ঘ-পাল্লার মিথস্ক্রিয়া ও প্রান্তীয় প্রভাব উপেক্ষা করা হয়েছে। নিবিড় অবস্থা অপরিবর্তিত রেখে তন্ত্রের আকার বদলানো হলো: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , যেখানে $λ > 0$ , আর $T$ ও $P$ অপরিবর্তিত থাকে।

$m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ ও $V^{1/3}$ -এর সমঘাততার ঘাত নির্ণয় করুন। কোন রাশিগুলি ব্যাপক, কোনগুলি নিবিড়, আর কোনগুলি এর কোনোটিই নয়?
একটি শক্তির জন্য দুটি রাশিমালা প্রস্তাব করা হলো, $U_{1} = a N k_{B} T$ ও $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , যেখানে $a > 0$ মাত্রাহীন এবং তন্ত্রের আকারের উপর নির্ভরশীল নয়। এদের মাত্রা যাচাই করুন, তারপর নির্ণয় করুন কোনটি ব্যাপকতার অনুমানের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই দুটি যাচাই কেন পৃথক, তা আরেকবার উল্লেখ করুন।
$R$ ব্যাসার্ধের একটি গোলকের ক্ষেত্রফল $A$ -কে আয়তন $V$ -এর অপেক্ষক হিসেবে প্রকাশ করুন। ধ্রুব ঘনত্বে একটিমাত্র গোলককে বড় করলে $A$ ও $A / V$ -এর সমঘাততার ঘাত নির্ণয় করুন।
$8 V$ আয়তনের একটি গোলকের ক্ষেত্রফলের সঙ্গে আটটি পৃথক গোলকের মোট ক্ষেত্রফলের তুলনা করুন, যাদের প্রত্যেকটির আয়তন $V$ । ব্যাখ্যা করুন কেন “একটি বস্তুকে বড় করা” আর “তার প্রতিলিপি পাশাপাশি রাখা” বস্তুর আন্তঃতলের ক্ষেত্রফলের জন্য একই ফল দেয় না।

ইঙ্গিত

প্রতিটি রাশিকে স্কেল পরিবর্তনের পরের মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন।

k

ঘাতের সমঘাত রাশির জন্য প্রাপ্ত গুণকটি

λ^{k}

হওয়া উচিত। গোলকের জন্য

V = 4 π R^{3} /3

ও

A = 4 π R^{2}

থেকে শুরু করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। গুণফলে স্কেল গুণকগুলি পরস্পর গুণ হয়, আর ভাগফলে ভাগ হয়। স্পষ্টভাবে পাওয়া যায়

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

এই তিনটি অনুপাত $0$ ঘাতের, তাই নিবিড়। এরপর,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

সুতরাং $P V$ ও $U^{2} / V$ হলো $1$ ঘাতের, তাই প্রদত্ত স্কেলিং নিয়মের অর্থে ব্যাপক; $V^{1/3}$ হলো $1/3$ ঘাতের, তাই এটি ব্যাপকও নয়, নিবিড়ও নয়। সমঘাততার ঘাত একক সম্পর্কে কিছু বলে না: $P V$ জুলে প্রকাশিত হয়, কিন্তু $U^{2} / V$ প্রকাশিত হয় $J^{2} m^{- 3}$ -এ।

প্রশ্ন ২।

N

একটি মাত্রাহীন সংখ্যা এবং

k_{B}

-এর একক

J K^{- 1}

। তাই উভয় রাশিমালারই মাত্রা শক্তির মাত্রা। তবে,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

কেবল $U_{1}$ ধরে নেওয়া ব্যাপকতার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অর্থাৎ একটি সূত্রের একক সঠিক হলেও তন্ত্রের আকারের উপর তার নির্ভরতা ভুল হতে পারে। এর মানে এই নয় যে অব্যাপক কোনো শক্তিই সম্ভব নয়: এই অনুশীলনীতে গৃহীত অনুমানটিই $U_{2}$ -কে বাদ দেয়।

প্রশ্ন ৩। ব্যাসার্ধকে আলাদা করে ক্ষেত্রফলের রাশিমালায় বসানো হয়:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

অতএব $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : ক্ষেত্রফল $2/3$ ঘাতের। $λV$ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ । ক্ষেত্রফল ও আয়তনের অনুপাত $- 1/3$ ঘাতের এবং গোলক বড় হলে তা কমে।

প্রশ্ন ৪। একক গোলকের জন্য

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

। অন্যদিকে, আটটি পৃথক গোলকের মোট ক্ষেত্রফল

8 A (V)

। সুতরাং তাদের মোট ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ। একটি সংহত বস্তুকে বড় করলে তার আকৃতি অক্ষুণ্ণ থাকে এবং আন্তঃতলের আপেক্ষিক গুরুত্ব কমে যায়। পাশাপাশি রাখলে প্রতিলিপিগুলির সব আন্তঃতল থেকে যায়। পৃষ্ঠতলীয় অবদান অধ্যয়নের সময় জ্যামিতিক ক্রিয়াটি স্পষ্ট করে বলতে হবে; আয়তনের ব্যাপক বর্ণনায় ঠিক এই অবদানগুলিই উপেক্ষা করা হয়।