তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

স্বাধীন চলক গণনা

অনুশীলনী 8 · পাঠ 3 — মৌলিক ধারণাসমূহ

অবস্থা সমীকরণ
স্বাধীনতার মাত্রা
বাধা
অবস্থা স্থানাঙ্ক

প্রশ্ন

একটি আদর্শ গ্যাসের সাম্যাবস্থাগুলিকে চারটি ধনাত্মক চলক $(P, V, T, n)$ দিয়ে বর্ণনা করা হয়, যারা $P V = n R T$ দ্বারা সম্পর্কিত। অভিগম্য অবস্থাগুলির সমষ্টির মাত্রা $d = q - r$ নির্ণয় করতে হবে, যেখানে $q$ ব্যবহৃত চলকের সংখ্যা এবং $r$ স্বাধীন সম্পর্কের সংখ্যা।

$n$ পরিবর্তনশীল হলে $q$ , $r$ ও $d$ নির্ণয় করুন। তিনটি স্বাধীন স্থানাঙ্ক প্রস্তাব করুন এবং চতুর্থ চলকটিকে প্রকাশ করুন।
পদার্থের পরিমাণ $n = n_{0}$ নির্দিষ্ট রেখে গণনাটি আবার করুন, তারপর $T = T_{0}$ -ও আরোপ করে, এবং সবশেষে $V = V_{0}$ -ও আরোপ করে। প্রতিটি ধাপে অভিগম্য অবস্থাগুলির জন্য এক প্রস্থ স্থানাঙ্ক বেছে দিন।
একজন শিক্ষার্থী $P V = n R T$ -এর সঙ্গে $P = n R T / V$ সম্পর্কটি যোগ করে দুটি অবস্থা সমীকরণ গোনে। তার ভুলটি ব্যাখ্যা করুন।
নির্দিষ্ট পদার্থের পরিমাণ $n_{1}, n_{2}$ বিশিষ্ট দুটি আদর্শ গ্যাস মোট আয়তন $V_{tot}$ বিশিষ্ট একটি পাত্রের প্রকোষ্ঠগুলিতে আছে। একটি তাপভেদ্য পিস্টন তাদের পৃথক করে, যা ঘর্ষণ ছাড়া এবং কোনো বাহ্যিক বল ছাড়াই চলতে পারে। সাধারণ তাপমাত্রাটি নির্দিষ্ট করা হয় না। সাম্যে $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ -এর মধ্যে স্বাধীন সম্পর্কগুলি গণনা করুন। আয়তনগুলি ও সাধারণ চাপকে অবশিষ্ট একটি স্থানাঙ্কের অপেক্ষক হিসেবে প্রকাশ করুন।

ইঙ্গিত

প্রশ্ন ২-এর তিনটি গণনাতেই শুরুর চারটি চলক রেখে দিন এবং প্রতিটি ধাপে একটি করে বাধা যোগ করুন। পিস্টনের ক্ষেত্রে দুটি অবস্থা সমীকরণ, মোট আয়তন, তাপীয় সাম্য ও যান্ত্রিক সাম্য ব্যবহার করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১।

q = 4

টি চলক ও একটি স্বাধীন সম্পর্ক ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ

r = 1

এবং

d = 3

।

(V, T, n)

বেছে নেওয়া যায়: তখন অবশিষ্ট চলকটি

P = n R T / V

।

V > 0

শর্তটি এই ভাগ সম্ভব করে। প্রশ্ন ২। বদ্ধ গ্যাসের জন্য সম্পর্কগুলি হলো

P V = n R T

ও

n = n_{0}

, তাই

r = 2

এবং

d = 4 - 2 = 2

।

(V, T)

জোড়টি উপযুক্ত, যেখানে

P = n_{0} R T / V

। শুরু থেকেই

n

-কে চলকের তালিকা থেকে বাদ দিলেও

q = 3

r = 1

, অর্থাৎ একই

d = 2

পাওয়া যেত। অতিরিক্ত বাধা

T = T_{0}

যোগ করলে

r

বেড়ে

3

হয় এবং

d = 1

পাওয়া যায়। অবস্থাগুলির প্যারামিটারায়নের জন্য আয়তন

V

-ই যথেষ্ট, কারণ

P = n_{0} R T_{0} / V

। সবশেষে

V = V_{0}

আরোপ করলে

r

বেড়ে

4

হয় এবং

d = 0

পাওয়া যায়: কেবল একটিমাত্র অবস্থা অবশিষ্ট থাকে, যেখানে

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

। এই শেষ সমষ্টির জন্য কোনো মুক্ত স্থানাঙ্কের প্রয়োজন নেই। এই বাধাগুলি অভিগম্য সমষ্টিকে ছোট করে, কিন্তু বাধাহীন গ্যাস বর্ণনার জন্য প্রয়োজনীয় চলকের সংখ্যা কমায় না। প্রশ্ন ৩। যেহেতু

V > 0

, দ্বিতীয় রূপটি প্রথমটিকে

V

দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যায়। যে অবস্থা একটিকে সিদ্ধ করে, তা স্বয়ংক্রিয়ভাবে অন্যটিকেও সিদ্ধ করে। তাই দ্বিতীয় সম্পর্কটি কোনো অতিরিক্ত অবস্থা বাদ দেয় না এবং

r

বাড়ায় না। গণনা করতে হয় স্বাধীন বাধাগুলি, সমীকরণের লাইন নয়। প্রশ্ন ৪। ছয়টি চলক নিচের পাঁচটি সম্পর্ক সিদ্ধ করে:

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

ধরা যাক $T = T_{1} = T_{2}$ এবং $P = P_{1} = P_{2}$ । অবস্থা সমীকরণ দুটি যোগ করলে পাওয়া যায়

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

এটি প্রতিটি অবস্থা সমীকরণে বসিয়ে পাই

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

আয়তনের রাশিমালায় $R T$ গুণকটি কাটা যায়, কিন্তু চাপের রাশিমালায় নয়। তাপমাত্রা $T > 0$ মুক্ত থাকে এবং অন্য সব চলক নির্ধারণ করে: পাঁচটি সম্পর্ক সত্যিই স্বাধীন এবং $d = 6 - 5 = 1$ । অতিরিক্ত কোনো শক্তি-সংক্রান্ত তথ্য একটি নির্দিষ্ট অবস্থা বেছে নিতে পারত; এখানে তা আরোপ করা হয়নি।