মৌলিক ধারণাসমূহ

তাপগতিবিদ্যা অল্প কয়েকটি পরিমাপযোগ্য রাশি—যেমন তাপমাত্রা, চাপ বা আয়তন—ব্যবহার করে সামষ্টিক তন্ত্র বর্ণনা করে। তত্ত্বটির দুটি সূত্র উপস্থাপনের আগে তাপগতীয় তন্ত্র, সাম্যাবস্থা, অবস্থা চলক, অবস্থা অপেক্ষক এবং তাপগতীয় রূপান্তর বলতে কী বোঝায়, তা সুনির্দিষ্ট করা প্রয়োজন।

এই পাঠে তাই শুধু তাপগতিবিদ্যার মৌলিক শব্দভাণ্ডার নয়, তত্ত্বটির ভিত্তিতে থাকা কয়েকটি গাঠনিক অনুমানও উপস্থাপিত হবে: অল্পসংখ্যক চলক দ্বারা চিহ্নিত সামষ্টিক অবস্থার অস্তিত্ব এবং এই অবস্থাগুলির স্থানের গঠন। এই ধারণা ও অনুমানগুলিই সেই কাঠামো তৈরি করবে যার মধ্যে দুটি সূত্র বিবৃত হবে।

1. তাপগতীয় তন্ত্র

তাপগতিবিদ্যায় প্রথম কাজ হলো যে তন্ত্রটি অধ্যয়ন করতে চাই, সেটি নির্বাচন করা।

উদাহরণ হিসেবে কোনো পাত্রে আবদ্ধ গ্যাসকে তন্ত্র হিসেবে নেওয়া যায়; সে ক্ষেত্রে সীমানা পাত্রের দেয়ালের সঙ্গে মিলে যায়। কিন্তু শুরুতেই মনে রাখতে হবে যে সীমানা অবশ্যই কোনো বস্তুগত দেয়াল নয়। টারবাইন বা নালির মধ্যে প্রবাহ অধ্যয়নের সময় প্রায়ই স্থানের একটি স্থির অঞ্চলকে তন্ত্র হিসেবে নেওয়া হয়; একে নিয়ন্ত্রণ আয়তন বলে। এর সীমানা সম্পূর্ণ জ্যামিতিক এবং পদার্থ তা অতিক্রম করতে পারে।

আরও মনে রাখতে হবে, তন্ত্রের নির্বাচন আংশিকভাবে ইচ্ছাধীন। একই প্রপঞ্চকে প্রায়ই বিভিন্ন তন্ত্র বেছে নিয়ে বর্ণনা করা যায়। তবে বাস্তবে সমস্যার প্রান্তে, অর্থাৎ সীমানায়, আরোপিত শর্তগুলি সাধারণত একটি বিশেষ নির্বাচন নির্দেশ করে। এই শর্তগুলি সাধারণত অনুশীলনীর বিবৃতিতে দেওয়া থাকে অথবা ভৌত পরিস্থিতি থেকেই বোঝা যায়। যেকোনো ক্ষেত্রেই ভৌত হিসাব স্থাপনের আগে নির্বাচিত তন্ত্রটি স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট করা অপরিহার্য।

তন্ত্র নির্ধারিত হলে প্রথম প্রশ্ন হলো, এটি তার পরিবেশের সঙ্গে কী বিনিময় করতে পারে। এই কোর্সে বিনিময়ের দুটি প্রধান শ্রেণি বিবেচিত হবে: পদার্থের বিনিময় এবং শক্তির বিনিময়, বিশেষত তাপ বা কাজের রূপে। তখন তিন ধরনের তন্ত্র আলাদা করা হয়।

চতুর্থ যৌক্তিক শ্রেণিটি—যে তন্ত্র পরিবেশের সঙ্গে পদার্থ বিনিময় করে কিন্তু কোনো শক্তি নয়—ভৌত অর্থ বহন করে না: সীমানা অতিক্রমকারী যেকোনো পদার্থ অবশ্যই তার সঙ্গে শক্তি বহন করে।

কয়েকটি উদাহরণ: পিস্টনযুক্ত সিলিন্ডারের মধ্যে আবদ্ধ গ্যাস একটি বদ্ধ তন্ত্র। কোনো অণু দেয়াল অতিক্রম করে না, কিন্তু গ্যাস তাপ গ্রহণ করতে পারে অথবা পিস্টন সরিয়ে কাজ প্রদান করতে পারে।

অন্যদিকে, ফুটন্ত জলসহ খোলা হাঁড়ি একটি উন্মুক্ত তন্ত্র, কারণ সেখান থেকে বাষ্প বেরিয়ে যায় এবং উত্তাপক পাত থেকে এটি তাপ গ্রহণ করতে পারে।

সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন তন্ত্র সবসময়ই একটি আদর্শায়ন। একটি বন্ধ থার্মোস কিছু সময়ের জন্য তার ভালো আসন্ন মান। বাস্তবে কোনো তন্ত্রই সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন হতে পারে না, কারণ শূন্যস্থানেও তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ তন্ত্রে বা তন্ত্র থেকে শক্তি বহন করতে পারে; বিকিরণের তাপগতিবিদ্যার জন্য পাঠ 12 দেখুন।

2. সীমানা, দেয়াল ও বাধা

সীমানার বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে তন্ত্র ও পরিবেশের মধ্যে কোন বিনিময়গুলি সম্ভব। এটি বোঝা জরুরি যে ভিন্ন প্রান্তীয় শর্ত একই প্রাথমিক অবস্থা থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন তাপগতীয় বিবর্তন ঘটাতে পারে।

অন্যভাবে বললে, শুধু তন্ত্রকে জানাই যথেষ্ট নয়: তার সীমানায় আরোপিত বাধাগুলিও জানতে হবে। সীমানা কোনো বস্তুগত দেয়াল দিয়ে গঠিত হলে কয়েকটি প্রচলিত ক্ষেত্র আলাদা করা যায়।

• কোনো দেয়াল দৃঢ় অথবা চলমান হতে পারে। দৃঢ় দেয়াল তন্ত্রের জ্যামিতি নির্ধারিত রাখে। বিপরীতে, দুই পাশে ক্রিয়াশীল চাপবলের পার্থক্যের প্রভাবে চলমান দেয়াল সরে যেতে পারে।
• কোনো দেয়াল তাপ বিনিময় সম্ভব করলে তাকে ডায়াথার্মিক বা তাপভেদ্য বলা হয়। তাপ বিনিময় রোধ করলে তাকে রুদ্ধতাপীয় বলা হয়। একে তাপীয়ভাবে নিরোধিতও বলা যায়, কিন্তু রুদ্ধতাপীয় শব্দটি আরও নির্ভুল, কারণ এটি শুধু পরিবহনে সীমিত নয়: রুদ্ধতাপীয় দেয়াল পরিবহন, পরিচলন বা বিকিরণ—সব ধরনের তাপীয় শক্তি স্থানান্তর রোধ করে।
• কোনো দেয়াল পদার্থের প্রতি ভেদ্য বা অভেদ্য হতে পারে। এটি অর্ধভেদ্যও হতে পারে, অর্থাৎ কিছু রাসায়নিক প্রজাতিকে যেতে দেয় এবং অন্যগুলিকে আটকে রাখে।

চিত্র 1-এ পরিবেশের সঙ্গে সম্ভাব্য বিনিময়, তিন ধরনের তন্ত্র এবং তাদের সীমানা দ্বারা আরোপিত প্রধান বাধাগুলি সংক্ষেপে দেখানো হয়েছে।

এই বৈশিষ্ট্যগুলি এমন বাধা তৈরি করে যা নির্ধারণ করে কোন তাপগতীয় প্রক্রিয়া সম্ভব। উদাহরণ হিসেবে একটি দৃঢ় দেয়াল দিয়ে পৃথক দুটি গ্যাস বিবেচনা করি। দেয়ালটি কোনো সরণ হতে দেয় না বলে তাদের চাপ ভিন্ন হলেও কিছু ঘটতে পারে না। দেয়ালটিকে চলমান পিস্টন দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে চাপের পার্থক্য পিস্টনটিকে গতিশীল করবে।

একইভাবে, রুদ্ধতাপীয় দেয়াল দিয়ে পৃথক দুটি বস্তু ভিন্ন তাপমাত্রা বজায় রাখতে পারে। কিন্তু দেয়ালটি তাপভেদ্য হলে নতুন সাম্য প্রতিষ্ঠিত না হওয়া পর্যন্ত তাপ স্থানান্তর ঘটে।

সবশেষে, একই রাসায়নিক প্রজাতি ভিন্ন ঘনমাত্রায় ধারণকারী দুটি দ্রবণ সেই পার্থক্য বজায় রাখতে পারে, যদি তাদের ওই প্রজাতির প্রতি অভেদ্য একটি ঝিল্লি দিয়ে পৃথক করা হয়। বিপরীতে, ঝিল্লিটি তার প্রতি ভেদ্য হলে কণাগুলি সীমানা অতিক্রম করে এক অঞ্চল থেকে অন্য অঞ্চলে ব্যাপন করতে পারে, যতক্ষণ না নতুন সাম্য প্রতিষ্ঠিত হয়। সবচেয়ে সরল ক্ষেত্রে, যখন অন্য সব দিক থেকে মাধ্যম দুটি সমতুল্য, তখন এই সাম্যে উভয় পাশের ঘনমাত্রা সমান হয়ে যায়।

প্রায়ই কোনো বাহ্যিক ব্যবস্থা বিস্তারিতভাবে বর্ণনা না করেই তন্ত্রের উপর কিছু নির্দিষ্ট বাহ্যিক শর্ত আরোপ করা সুবিধাজনক হবে। যেমন, যাই ঘটুক না কেন, ধ্রুব তাপমাত্রায় রাখা একটি তন্ত্র অধ্যয়ন করতে চাইতে পারি। বাস্তবে সেটিকে চুল্লি, রেফ্রিজারেটর, জলস্নান ইত্যাদিতে রাখা যেতে পারে।

আনুষ্ঠানিক দৃষ্টিকোণ থেকে এর অর্থ হলো, যে বাহ্যিক মাধ্যমের সঙ্গে তন্ত্রটি মিথস্ক্রিয়া করে তার উপর কিছু বৈশিষ্ট্য আরোপ করা। এমন যথেষ্ট বড় তন্ত্রকে আধার বলা হয়, যার কিছু পরামিতি অধ্যয়নাধীন তন্ত্রের সঙ্গে বিনিময় সত্ত্বেও ধ্রুব বলে বিবেচনা করা যায়।

একটি তাপীয় আধার, বা তাপস্থাপক, এমন আধার যার তাপমাত্রা যুক্তিসংগত পরিমাণ তাপ গ্রহণ বা ত্যাগ করলেও কার্যত ধ্রুব থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ছোট বস্তু বড় হ্রদে ডোবালে খুব ভালো আসন্নতায় হ্রদটিকে তাপস্থাপক হিসেবে ধরা যায়।

একইভাবে, অনেক পরিস্থিতিতে বায়ুমণ্ডলকে প্রায় ধ্রুব চাপ আরোপকারী একটি যান্ত্রিক আধার হিসেবে বিবেচনা করা যায়। তখন কখনও একে চাপস্থাপক বলা হয়। অনুশীলনীতে এটি প্রায়ই ঘটবে।

পরে আমরা এমন কণা-আধারেরও দেখা পাব, যা একটি রাসায়নিক বিভব আরোপ করতে পারে।

3. তাপগতীয় সাম্য

সাম্যের ধারণাটি শাস্ত্রীয় তাপগতিবিদ্যার কেন্দ্রে রয়েছে। আমরা যে তত্ত্ব গড়ে তুলব, তা প্রধানত সাম্যাবস্থা এবং এমন অবস্থাগুলিকে সংযুক্তকারী রূপান্তর বর্ণনা করে।

এই ধারণার উৎস প্রথমে প্রপঞ্চগত। পরীক্ষা দেখায় যে নির্দিষ্ট বাহ্যিক শর্তের অধীন কোনো তন্ত্র সাধারণত কিছু সময় পরে এমন অবস্থার দিকে যায়, যেখানে আর কোনো পর্যবেক্ষণযোগ্য সামষ্টিক বিবর্তন থাকে না।

উদাহরণ হিসেবে, দীর্ঘ সময় ধরে একটি ঘরে রেখে দেওয়া ধাতব ঘনক বিবেচনা করি। তার তাপমাত্রায় আর সামষ্টিকভাবে পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিবর্তন হয় না। এবার ঘনকটি একটি উষ্ণ চুল্লিতে রাখি। আমরা তার সীমানায় আরোপিত শর্ত বদলেছি এবং তন্ত্রটি আবার বিবর্তিত হতে শুরু করে: তার তাপমাত্রা ধীরে ধীরে বাড়ে। কিছু সময় পরে এই বিবর্তন আবার থেমে যায় এবং একটি নতুন স্থিতিশীল অবস্থা অর্জিত হয়।

বলা হয়, তন্ত্রটি একটি নতুন সাম্যাবস্থার দিকে শিথিল হয়েছে। এই অবস্থা অর্জনে প্রয়োজনীয় সময়কে শিথিলনকাল বলে; এটি তন্ত্র এবং সংশ্লিষ্ট ভৌত প্রক্রিয়ার উপর নির্ভর করে। কোনো ক্ষেত্রে এটি খুব অল্প, অন্য ক্ষেত্রে খুব দীর্ঘ হতে পারে।

এই পর্যবেক্ষণ আমাদের নিচের সংজ্ঞায় নিয়ে যায়।

তাপগতীয় সাম্যের অর্থ তাই এই নয় যে তাপমাত্রা, চাপ বা ঘনমাত্রার সব পার্থক্য অবশ্যই অদৃশ্য হয়েছে। এর অর্থ হলো, তন্ত্রের উপর আরোপিত বাধাগুলি বিবেচনায় নিলে কোনো স্বতঃস্ফূর্ত সামষ্টিক বিবর্তন সম্ভব নয়। আমরা এর একটি উদাহরণ ইতিমধ্যেই দেখেছি: দৃঢ় দেয়াল দিয়ে পৃথক, ভিন্ন চাপের দুটি গ্যাস-আয়তন এই বাধার অধীনে একটি সাম্যাবস্থা গঠন করতে পারে।

অতএব সাম্যাবস্থা সবসময় তন্ত্রের উপর আরোপিত বাধার সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত। কোনো বাধা তুলে নেওয়া হলে অবস্থাটি নতুন তাপগতীয় সমস্যার জন্য সঙ্গে সঙ্গেই সাম্যাবস্থা না-ও থাকতে পারে। দ্বিতীয় সূত্র পরে সাম্যের দিকে এই প্রবণতার একটি সাধারণ রূপ দেবে এবং সাম্যাবস্থাকে চিহ্নিত করতে সাহায্য করবে।

শেষে মনে রাখতে হবে যে সাম্যাবস্থাকে স্থিতিশীল অবস্থা থেকে আলাদা করতে হয়। স্থিতিশীল অবস্থায় সামষ্টিক রাশিগুলি আর সময়ের উপর নির্ভর করে না, কিন্তু স্থায়ী প্রবাহ তখনও থাকতে পারে।

এর প্রচলিত উদাহরণ হলো এমন একটি ধাতব দণ্ড যার দুই প্রান্ত ভিন্ন তাপমাত্রায় রাখা হয়। কিছু সময় পরে দণ্ডের তাপমাত্রা-বণ্টন আর সময়ের সঙ্গে বদলায় না, কিন্তু উষ্ণ প্রান্ত থেকে শীতল প্রান্তে তাপের প্রবাহ অব্যাহত থাকে। এই তন্ত্র সাম্যে নেই; তাই সাম্যের সংজ্ঞায় সামষ্টিক প্রবাহের অনুপস্থিতিও নির্দিষ্ট করা হয়েছে। সামষ্টিক প্রবাহ বলতে, যেমন, তাপ বা পদার্থের প্রবাহ বোঝায়।

4. সামষ্টিক অবস্থা ও অবস্থা চলক

এর পরের স্বাভাবিক প্রশ্ন হলো, সাম্যাবস্থাগুলিকে পরিমাণগতভাবে কীভাবে বর্ণনা করা যায়।

4.1. অবস্থা চলক

একটি সামষ্টিক তন্ত্রে বিপুলসংখ্যক আণুবীক্ষণিক স্বাধীনতার মাত্রা থাকে। যেমন এক লিটার গ্যাসে প্রায় $10^{23}$টি অণু থাকে। একটি পূর্ণাঙ্গ বলবিদ্যাগত বর্ণনার জন্য নীতিগতভাবে প্রতিটি অণুর অবস্থান ও বেগ জানা দরকার। তবু তাপগতিবিদ্যা ধরে নেয় যে সাম্যে এই আণুবীক্ষণিক তথ্য অতি অল্পসংখ্যক সামষ্টিক রাশি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যায়; এগুলিকে আমরা অবস্থা চলক বলব, কারণ এগুলি সামষ্টিক অবস্থাকে চিহ্নিত করে।

আয়তন $V$, চাপ $P$, তাপমাত্রা $T$ এবং কণাসংখ্যা $N$ সবচেয়ে পরিচিত উদাহরণ। আমরা দেখব, প্রথম সূত্র একটি নতুন চলক—অভ্যন্তরীণ শক্তি $U$—প্রবর্তন করবে, আর দ্বিতীয় সূত্র আরও একটি—এনট্রপি $S$—প্রবর্তন করবে। আপাতত আমরা স্বীকার করি যে এই দুটি রাশির অস্তিত্ব আছে এবং এগুলি তন্ত্রের সামষ্টিক অবস্থাকে চিহ্নিত করে।

এই স্বীকার্যের উল্লেখযোগ্য চরিত্র সাধারণ ভূমিকায় তুলে ধরা হয়েছে। প্রথম ও দ্বিতীয় সূত্রের প্রচলিত বিবৃতিতে এটি সরাসরি বলা না হলেও এটি স্পষ্টতই অপরিহার্য এবং সূত্র দুটির আগের ধারণা। তাপমাত্রা বা চাপ কণাগুলির আণুবীক্ষণিক স্থানাঙ্ক নয়। এগুলি উদ্ভূত রাশি, যা শুধু সামষ্টিক স্কেলেই প্রাসঙ্গিক হয়ে ওঠে।

4.2. ব্যাপক ও নিবিড় চলক

দেখা যায়, এই অবস্থা চলকগুলি দুটি প্রধান শ্রেণিতে বিভক্ত।

আয়তন $V$, ভর $m$ এবং কণাসংখ্যা $N$ ব্যাপক রাশির উদাহরণ। আপাতত আমরা অভ্যন্তরীণ শক্তি $U$ ও এনট্রপি $S$-কেও ব্যাপক বলে স্বীকার করব।

বিপরীতে, তাপমাত্রা $T$, চাপ $P$ এবং রাসায়নিক বিভব $\mu$ নিবিড় রাশি। রাসায়নিক বিভব পরে প্রবর্তিত হবে।

4.3. ব্যাপকতার বীজগণিত

ব্যাপকতা ও নিবিড়তার ধারণা একটি সরল বীজগণিত মেনে চলে। সমঘাত অপেক্ষকের ধারণা প্রবর্তন করে এটিকে আনুষ্ঠানিক রূপ দেওয়া সুবিধাজনক।

অতএব ব্যাপক রাশি $1$ ঘাতের সমঘাত, আর নিবিড় রাশি $0$ ঘাতের সমঘাত।

এই সংজ্ঞা রাশিগুলিকে সঙ্গে সঙ্গে একত্র করার সুযোগ দেয়। $X$ যদি $k$ ঘাতের এবং $Y$ যদি $k'$ ঘাতের সমঘাত হয়, তবে $XY$ হলো $k+k'$ ঘাতের সমঘাত, আর $X/Y$ হলো $k-k'$ ঘাতের সমঘাত।

যেমন, $V/N$ অনুপাতটি $0$ ঘাতের সমঘাত, তাই এটি একটি নিবিড় রাশি। এটি প্রতি কণার আয়তন। একইভাবে কণাঘনত্ব $N/V$ নিবিড়।

এই বৈশিষ্ট্য তাপগতীয় সমীকরণের সঙ্গতি যাচাইয়ের একটি উপায় দেয়। সমীকরণটিকে শুধু প্রচলিত মাত্রিক বিশ্লেষণই সন্তুষ্ট করতে হবে না, ব্যাপকতার সঙ্গেও সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে: তন্ত্রের আকার বদলালে উভয় পক্ষকে একইভাবে রূপান্তরিত হতে হবে। যেমন একটি ব্যাপক চলকের সঙ্গে একটি নিবিড় চলক যোগ করার কোনো অর্থ নেই। অন্তত গণনার চূড়ান্ত ফলাফলে এটি যাচাই করার অভ্যাস—সম্ভব হলে সহজাত প্রতিক্রিয়া—গড়ে তুলতে হবে।

অনুশীলন হিসেবে যাচাই করুন যে আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ $PV = N k_{\mathrm B}T$ এই দুটি শর্তই মেনে চলে। এখানে $N$ কণাসংখ্যা। সম্পর্কটি মোলসংখ্যা $n$-এর সাহায্যেও লেখা যায়; এটি $N$-এর সঙ্গে $N=\mathcal N_A n$ দ্বারা সম্পর্কিত, যেখানে $\mathcal N_A$ অ্যাভোগাড্রো ধ্রুবক। যেহেতু $R=\mathcal N_A k_{\mathrm B}$, তাই প্রচলিত রূপ $PV=nRT$ ফিরে পাওয়া যায়।

5. সাম্যাবস্থার স্থান

আমরা যে স্বীকার্যগুলি এইমাত্র স্থাপন করেছি, সেগুলির একটি সরল গাণিতিক অনুবাদ দেওয়া খুব উপযোগী। বিবেচ্য তন্ত্রের অভিগম্য সব সাম্যাবস্থার সমষ্টিকে আমরা $\mathcal E$ দ্বারা নির্দেশ করব। একটি অবস্থাকে সসীমসংখ্যক স্বাধীন চলক

দিয়ে বর্ণনা করা যায়, যাদের মান অবস্থাটিকে সম্পূর্ণ নির্ধারণ করে। $x^i$-গুলি, যেমন, তাপমাত্রা, চাপ, আয়তন ইত্যাদি প্রকাশ করে। এই অবস্থা চলকগুলি তখন $\mathcal E$ স্থানের স্থানাঙ্কের ভূমিকা পালন করে।

আমরা বলেছি যে এই চলকগুলি অবশ্যই স্বাধীন। কারণ কোনো তন্ত্রের বিভিন্ন অবস্থা চলক সাধারণত অবস্থা সমীকরণ দ্বারা পরস্পরের সঙ্গে যুক্ত থাকে। আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ তার একটি উদাহরণ। পরের অনুচ্ছেদে বিষয়টি স্পষ্ট করা হবে।

আরও ধরে নেব যে তাপগতীয় রাশিগুলি এই স্থানাঙ্কগুলির উপর যথেষ্ট মসৃণভাবে নির্ভর করে, যাতে অবকলন ব্যবহার করা যায়। তাই $\mathcal E$ স্থানের জন্য নির্বাচিত গাণিতিক মডেলটি হলো একটি সসীম-মাত্রিক অবকলনীয় ম্যানিফোল্ড।

এই বিবৃতি বিমূর্ত মনে হতে পারে, কিন্তু বহু গ্রন্থ $dT$, $dV$ বা $dP$-এর মতো রাশি লেখার সময় যে অনুমানটি অন্তর্নিহিতভাবে ব্যবহার করে, সেটিকেই শুধু স্পষ্ট করে; এই রাশিগুলিকে সম্ভব করে এমন গাণিতিক গঠন সেখানে আর ব্যাখ্যা করা হয় না।

এই জ্যামিতিক নির্মাণ বিশেষ করে তাপগতীয় চলকগুলির পারস্পরিক নির্ভরতা ও অবস্থা অপেক্ষকের ধারণা সঠিকভাবে প্রকাশ করতে সাহায্য করবে। এটি আরও ব্যাখ্যা করবে কেন প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার মধ্যে বিনিময় হওয়া কাজ ও তাপ অনুসৃত পথের উপর নির্ভর করে, কিন্তু অভ্যন্তরীণ শক্তি বা এনট্রপির পরিবর্তন নির্ভর করে না (পরের অনুচ্ছেদগুলি দেখুন)।

6. অবস্থা সমীকরণ

আমরা সাম্যাবস্থার সমষ্টি $\mathcal E$-কে এইমাত্র একটি সসীম-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড হিসেবে মডেল করেছি। এখন বুঝতে হবে কী তার মাত্রা নির্ধারণ করে। কোনো তন্ত্র বর্ণনায় অনেক অবস্থা চলক ব্যবহার করা গেলেও সাধারণত সেগুলি সব স্বাধীন নয়: কিছু সম্পর্ক তাদের পরস্পরের সঙ্গে যুক্ত করে।

উদাহরণ হিসেবে একটি আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করি। আগের পাঠে আমরা দেখেছি যে সাম্যে তার চলকগুলি

পূরণ করে। পদার্থের পরিমাণ $n$ নির্দিষ্ট হলে $V$ ও $T$ জানা $P$ নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট, কারণ $P=nRT/V$। $P$, $V$ ও $T$—তিনটিই অবস্থা চলক, কিন্তু তাদের মধ্যে মাত্র দুটিকে স্বাধীনভাবে বেছে নেওয়া যায়।

আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ তাই

রূপের।

অতএব একটি অবস্থা সমীকরণ স্বাধীনভাবে বেছে নেওয়া চলকের সংখ্যা কমায়। যেমন একটি বদ্ধ তন্ত্রে আদর্শ গ্যাসের মোলসংখ্যা $n$ নির্দিষ্ট এবং $PV=nRT$ সমীকরণ বিমূর্ত $(P,V,T)$ স্থানাঙ্ক-স্থানে একটি পৃষ্ঠ নির্ধারণ করে। তাই এই ক্ষেত্রে আদর্শ গ্যাসের সাম্যাবস্থার ভৌত স্থানটি $3$-মাত্রিক নয়, $2$-মাত্রিক।

এই স্থানের স্থানাঙ্ক হিসেবে, যেমন, $(V,T)$ বেছে নেওয়া যায়; তবে $(P,T)$ বা $(P,V)$-এর মতো অন্য নির্বাচনও সম্ভব। কোনো নির্বাচনই অন্যটির চেয়ে বেশি ভৌত নয়: এগুলি একই সাম্যাবস্থা-স্থানের বিভিন্ন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা মাত্র।

সাধারণভাবে, $r$টি স্বাধীন সম্পর্ক দ্বারা যুক্ত $q$টি অবস্থা চলক দিয়ে শুরু করলে তাদের মধ্যে কেবল $d = q -r$টিকে স্বাধীনভাবে বেছে নেওয়া যায়। এই $d$-ই $\mathcal E$ ম্যানিফোল্ডের মাত্রা। পরে দেখব কীভাবে এই গণনা পদ্ধতিগতভাবে করা যায়।

আরও জটিল তন্ত্রে অভিগম্য অবস্থাগুলি সম্পূর্ণভাবে চিহ্নিত করতে একাধিক অবস্থা সমীকরণ প্রয়োজন হতে পারে।

7. অবস্থা অপেক্ষক

অবস্থা-স্থান নির্ধারিত হলে এমন একটি ধারণা প্রবর্তন করা যায় যা আমরা ক্রমাগত ব্যবহার করব।

$\mathcal E$-তে স্বাধীন স্থানাঙ্ক $x^1,...,x^d$ বেছে নিলে লেখা যায় $f=f(x^1,...,x^d)$।

অভ্যন্তরীণ শক্তি $U$ ও এনট্রপি $S$ তাপগতিবিদ্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দুটি অবস্থা অপেক্ষক হবে।

একটি অবস্থা অপেক্ষকের অবকল লেখা হয়

দুটি সাম্যাবস্থা $A$ ও $B$-এর মধ্যে তার পরিবর্তন

$\gamma$ যদি $\mathcal E$-তে $A$ ও $B$-কে যুক্তকারী একটি পথ হয়, তবে

এই সমতা $A$ ও $B$-কে সংযুক্তকারী প্রতিটি পথ $\gamma$-এর জন্য সত্য; তাই সমাকলনটি নির্বাচিত পথের উপর নির্ভর করে না। তখন $df$-কে একটি যথার্থ অবকল বলা হয়। এখানে $\gamma$ একটি গাণিতিক পথ, যা আবশ্যিকভাবে তন্ত্রের প্রকৃত ভৌত বিবর্তনকে প্রকাশ করে না। পরের অনুচ্ছেদে বলা হবে কখন একটি তাপগতীয় রূপান্তরকেই $\mathcal E$-তে পথ দিয়ে প্রকাশ করা যায়।

এই বৈশিষ্ট্য বিশেষ করে অভ্যন্তরীণ শক্তিকে তাপ ও কাজ থেকে আলাদা করে। তাপ ও কাজ তন্ত্রে সঞ্চিত রাশি নয়; এগুলি রূপান্তরের সময় সংঘটিত শক্তি স্থানান্তর, তাই তাদের মান প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার মধ্যে রূপান্তরটি কীভাবে ঘটানো হয় তার উপর নির্ভর করে।

এই কারণে আমরা

সংকেত ব্যবহার করব, যাতে এগুলিকে

-এর মতো অবস্থা অপেক্ষকের যথার্থ অবকল থেকে আলাদা করা যায়। $\delta Q$ ও $\delta W$ হলো তন্ত্রের গৃহীত তাপ ও কাজের অতি ক্ষুদ্র পরিমাণ; $\delta$ চিহ্নটি বোঝায় যে এগুলি অবস্থা অপেক্ষকের অবকল নয়। তাপ ও কাজ পাঠ 4-এ এবং এনট্রপি পাঠ 6-এ সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত হবে।

8. তাপগতীয় রূপান্তর

একটি তাপগতীয় রূপান্তর হলো এমন যেকোনো প্রক্রিয়া, যাতে কোনো তন্ত্র একটি প্রাথমিক সাম্যাবস্থা থেকে একটি চূড়ান্ত সাম্যাবস্থায় যায়।

রূপান্তরের সময় তন্ত্রটি আবশ্যিকভাবে সাম্যে থাকে না। যেমন তার তাপমাত্রা বা চাপ এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে ভিন্ন হতে পারে, এমনকি এগুলির নির্দিষ্ট কোনো মান নাও থাকতে পারে।

তখন পুরো বিবর্তনকে সাম্যাবস্থার স্থান $\mathcal E$-তে একটি পথ দিয়ে প্রকাশ করা ভুল। শুধু প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থাই আবশ্যিকভাবে এই স্থানের অন্তর্ভুক্ত।

8.1. কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তর

এক শ্রেণির রূপান্তর তাপগতিবিদ্যায় কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে: কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তর।

বাস্তবে এর অর্থ হলো, বাহ্যিক বাধাগুলি তন্ত্রের বৈশিষ্ট্যসূচক শিথিলনকালের তুলনায় যথেষ্ট ধীরে পরিবর্তন করা হয়।

তখন পুরো পথজুড়ে অসীমভাবে কাছাকাছি অবস্থার একটি ক্রম

বিবেচনা করে লেখা যায়

যেমন

রূপান্তরের কোয়াসি-স্থিতিশীল চরিত্র তার পুরো বিবর্তনে অবকলনীয় গণিত প্রয়োগ করতে দেয়। অবস্থা চলক ও সব অবস্থা অপেক্ষক প্রতিটি ধাপে সংজ্ঞায়িত থাকে এবং $\mathcal E$-তে অনুসৃত পথ বরাবর তাদের অতি ক্ষুদ্র পরিবর্তন নির্ণয় করা যায়।

চিত্র 2 এবং 3 এই নির্মাণের দুটি দিক দেখায়। প্রথমটি $\mathcal E$-তে পথ অনুসরণকারী কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তরের সঙ্গে অ-কোয়াসি-স্থিতিশীল (যেমন আকস্মিক) রূপান্তরের তুলনা করে, যার মধ্যবর্তী অবস্থাগুলি আবশ্যিকভাবে সাম্যাবস্থা নয়। দ্বিতীয়টি একই $A$ ও $B$-এর মধ্যে ভিন্ন পথ অনুসরণকারী দুটি কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তরের তুলনা করে: অবস্থা অপেক্ষকের পরিবর্তন দুই পথেই একই, কিন্তু বিনিময় হওয়া তাপ ও কাজ ভিন্ন হতে পারে।

8.2. বিশেষ রূপান্তর

কিছু রূপান্তর তাপগতিবিদ্যায় বারবার আসে। তাই তাদের বিশেষ নাম দেওয়া হয়। কোনো সংজ্ঞা তন্ত্রের একটি রাশি নিয়ে হলে ধরে নেওয়া হয় যে রাশিটি পুরো রূপান্তর জুড়ে সংজ্ঞায়িত।

• যে রূপান্তরে তন্ত্র ধ্রুব তাপমাত্রার বাহ্যিক পরিবেশের সংস্পর্শে থাকে, $T_{\rm ext}=\text{ধ্রুব}$, তা এক-তাপীয়।
• যে রূপান্তরে তন্ত্রের উপর বাহ্যিক চাপ ধ্রুব থাকে, $P_{\rm ext}=\text{ধ্রুব}$, তা এক-চাপীয়।
• যে রূপান্তরে তন্ত্রের তাপমাত্রা ধ্রুব থাকে, $T_{\rm sys}=\text{ধ্রুব}$, তা সমতাপীয়।
• যে রূপান্তরে তন্ত্রের চাপ ধ্রুব থাকে, $P_{\rm sys}=\text{ধ্রুব}$, তা সমচাপীয়।
• ধ্রুব আয়তনের রূপান্তর, $V=\mathrm{const}$, হলো সমআয়তনিক। বিশেষ করে দৃঢ় পাত্রে আবদ্ধ তন্ত্রের ক্ষেত্রে এটি ঘটে।
• পুরো বিবর্তনে তাপ বিনিময়হীন রূপান্তর, $\delta Q=0$, হলো রুদ্ধতাপীয়। আদর্শভাবে রুদ্ধতাপীয় দেয়াল ব্যবহার করে এটি সম্পন্ন করা যায়।
• পুরো বিবর্তনে ধ্রুব এনট্রপির রূপান্তর, $dS=0$, হলো সমএনট্রপীয়। বিশেষত প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার মধ্যে $\Delta S=0$। একটি রুদ্ধতাপীয় রূপান্তর আবশ্যিকভাবে সমএনট্রপীয় নয়; পরে দেখুন।
• পুরো বিবর্তনে ধ্রুব অভ্যন্তরীণ শক্তির রূপান্তর, $dU=0$, হলো সমশক্তীয়। বিশেষত প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার মধ্যে $\Delta U=0$।
• যে রূপান্তরে চূড়ান্ত অবস্থা প্রাথমিক অবস্থার অভিন্ন, তাকে চক্রীয় বলা হয়।

লক্ষ্য করুন, তাপীয় সাম্যের শর্তে এক-তাপীয় রূপান্তর সমতাপীয় হয়: তাপভেদ্য দেয়ালের মধ্য দিয়ে তন্ত্রটি যদি প্রতি মুহূর্তে বাইরের সঙ্গে তাপীয় সাম্যে থাকে, তবে সমগ্র রূপান্তর জুড়ে $T_{\rm sys}=T_{\rm ext}$ থাকে। একইভাবে, যান্ত্রিক সাম্য সম্ভব করে এমন চলনশীল দেয়াল এক-চাপীয় রূপান্তরকে সমচাপীয় করে।

9. তথ্যসূত্র

তাপগতিবিদ্যার একটি শাস্ত্রীয় ও পদ্ধতিগত উপস্থাপনার জন্য বিশেষ করে Diu প্রমুখ ^[1] এবং Callen ^[2] দেখুন।