একটি পথ বরাবর অন্তরক রূপের সমাকলন

প্রশ্ন ২। $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ দ্বারা প্যারামিটারায়িত বক্ররেখার জন্য

$\gamma_1$ পথটি দুটি রেখাংশের সংযোগ। প্রথমটিতে $t\in[0,1]$-এর জন্য $x(t)=t$, $y(t)=0$; তাই $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ ও $\mathrm{d}y=0$। দ্বিতীয়টিতে একইভাবে $t\in[0,1]$-এর জন্য $x(t)=1$, $y(t)=t$; তাই $\mathrm{d}x=0$ ও $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$। অতএব,

$\gamma_2$-এর প্রথম রেখাংশে $x(t)=0$, $y(t)=t$, তারপর দ্বিতীয়টিতে $x(t)=t$, $y(t)=1$; উভয় ক্ষেত্রেই $t\in[0,1]$। তাই

দুটি মান সমান। হিসাব ছাড়াই এটি অনুমান করা যেত: $f(x,y)=xy$-এর জন্য $\omega_1=\mathrm{d}f$, তাই সমাকলনটি শুধু প্রান্তবিন্দুর উপর নির্ভর করে,

প্রশ্ন ৩। লিখি $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$। এখানে $A(x,y)=y$ এবং $B(x,y)=0$। রূপটি সম্পূর্ণ হলে শোয়ারৎসের মানদণ্ড দিত

কিন্তু $\partial A/\partial y=1$, অথচ $\partial B/\partial x=0$। মিশ্র অবকলজ দুটি ভিন্ন; তাই $\omega_2$ সম্পূর্ণ নয়। এর সমাকলন $O$ থেকে $M$ পর্যন্ত অনুসৃত পথের উপর নির্ভর করতে পারে, যা পরের হিসাবটি নিশ্চিত করে।

প্রশ্ন ৪। যেহেতু $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, তাই $y$ শূন্য না হলে $x$-এর পরিবর্তনই শুধু সমাকলনে অবদান রাখতে পারে। আগের প্যারামিটারায়ন থেকে $\gamma_1$-এর জন্য পাই

$\gamma_2$-এর প্রথম রেখাংশে $x(t)=0$, তাই $\mathrm{d}x=0$; দ্বিতীয়টিতে $x(t)=t$, $y(t)=1$ ও $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$। সুতরাং

শেষে, কর্ণ রেখাংশ $\gamma_3$ স্পষ্টভাবে প্যারামিটারায়িত হয়

তাই $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ ও $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$। ফলে

তিনটি পথের প্রান্তবিন্দু একই, কিন্তু তিনটি ভিন্ন মান দেয়: $J_1=0$, $J_2=1$ ও $J_3=1/2$। এটিই অসম্পূর্ণ অন্তরক রূপের বৈশিষ্ট্যপূর্ণ পথ-নির্ভরতা।