الكفاءة ومعاملات الأداء: حدود كارنو من متباينة كلاوزيوس

السؤال 1. تتمايز أنماط التشغيل الثلاثة بالاتجاه الفعلي للانتقالات.

• في المحرك، يستقبل المائع حرارة من الخزان الساخن، ويعطي جزءًا منها للخزان البارد، ويقدّم شغلًا: $Q_{\mathrm{H}}>0$ و$Q_{\mathrm{C}}<0$ و $W<0$.
• في الثلاجة كما في المضخة الحرارية، يستقبل المائع شغلًا، ويسحب حرارة من الخزان البارد ويعطي حرارة للخزان الساخن: $W>0$ و$Q_{\mathrm{C}}>0$ و$Q_{\mathrm{H}}<0$. الآلتان متطابقتان؛ ولا يتغير إلا الخدمة المنتظرة: تبريد الخزان البارد أو تسخين الخزان الساخن.

خلال دورة، يعود المائع إلى حالته الابتدائية، فلا تتغير طاقته الداخلية: $\Delta U=0$. ويعطي المبدأ الأول $\Delta U=Q+W$، في الحالات الثلاث،

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

السؤال 2. في المحرك، $W<0$، إذن $|W|=-W$. ويعطي المبدأ الأول $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$، ومن ثم

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

في الثلاجة أو المضخة الحرارية، $W>0$ ويعطي المبدأ الأول $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. وبما أن $Q_{\mathrm{H}}<0$، فإن $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. وهكذا

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

وبما أن $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$،

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

في المحرك، $Q_{\mathrm{C}}<0$ و$Q_{\mathrm{H}}>0$، إذن $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ و $\eta <1$: لا يمكن للشغل المقدَّم أن يتجاوز الحرارة المستقبلة، وهذا ما يكفي المبدأ الأول لضمانه. أما معامل الأداء فيمكن، على العكس، أن يتجاوز $1$: فالمضخة الحرارية لا تصنع الحرارة التي تعطيها، بل تنقلها من البارد إلى الساخن، والشغل المستقبَل ليس إلا جزءًا منها. بل لدينا دائمًا ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$، لأن ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

السؤال 3. يقطع المائع دورة ولا يتبادل الحرارة إلا مع الخزانين الحراريين. تُكتب متباينة كلاوزيوس

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كانت الدورة عكوسة. نعزل الحد البارد، ثم نضرب في $T_{\mathrm{C}}>0$، وهذا يحفظ اتجاه المتباينة:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

في المحرك، $Q_{\mathrm{H}}>0$: نقسم على $Q_{\mathrm{H}}$، وهذا يحفظ أيضًا اتجاه المتباينة،

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

وبالتعويض في عبارة السؤال 2،

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كانت متباينة كلاوزيوس مساواة، أي من أجل دورة عكوسة: نستعيد بذلك مبرهنتي كارنو الأولى والثالثة من دون أي فرضية على مائع التشغيل. وأخيرًا، تتطلب $\eta =1$ أن يكون $Q_{\mathrm{C}}=0$؛ فتصبح متباينة كلاوزيوس عندئذ $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$، وهذا يناقض $Q_{\mathrm{H}}>0$. هذه هي صيغة كلفن–بلانك: يجب على المحرك حتمًا أن يعطي حرارة للخزان البارد.

السؤال 4. ننطلق هذه المرة من متباينة كلاوزيوس بعزل الحد الساخن، ثم نضرب في $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

إذ ينقلب اتجاه المتباينة عند الانتقال إلى المعاكسات. نضيف $-Q_{\mathrm{C}}$ إلى الطرفين ونستخدم $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

الطرفان موجبان. نقسم على $W>0$، ثم نضرب في $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

وبالعلاقة التي حصلنا عليها في السؤال 2،

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

وكما في المحرك، لا تبلغ هذه الحدودَ إلا آلةٌ عكوسة.

السؤال 5. عندما $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$، يؤول حد الكفاءة $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ إلى $0$: فمن دون فرق في درجة الحرارة لا يمكن إنتاج أي شغل. أما حدّا معاملي الأداء، اللذان يؤول مقامهما $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ إلى $0$، فيؤولان على العكس إلى اللانهاية: فنقل الحرارة بين جسمين لهما درجة الحرارة نفسها لا يكلّف، في النهاية العكوسة، أي شغل. وعندما $T_{\mathrm{C}}\to 0$، يؤول حد الكفاءة إلى $1$، ويؤول حد ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ إلى $0$: فسحب الحرارة من جسم يزداد برودة يكلّف شغلًا متزايدًا لكل جول مسحوب: والتبريد نحو الصفر المطلق يصبح أكثر فأكثر كلفة. السؤال 6. للثلاجة،

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

وللمجمّدة،

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

الشغل المنفَق لكل جول من الحرارة المسحوبة هو $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. فنسبة الإنفاقين الأدنيين هي إذن $18,5/6,7\approx 2,8$: فالمجمّدة، حتى المثالية منها، تنفق قرابة ثلاثة أضعاف ما تنفقه الثلاجة من شغل لسحب الحرارة نفسها، لأن فرق درجة الحرارة الذي يجب تجاوزه أكبر بأكثر من الضعف. وتبقى الأجهزة الحقيقية، وهي لاعكوسة، دون هذه الحدود بوضوح.