انضغاط مع خزان حراري واحد: عكوس أم مفاجئ

السؤال 1. أثناء الانضغاط العكوس، يبقى الغاز في توازن حراري مع الخزان: درجة حرارته $T_0$ طوال التحول. يزداد ضغطه تدريجيا من $P_0$ إلى $P_1=xP_0$. في الحالة النهائية،

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

حيث استخدمنا معادلة الحالة الابتدائية $nRT_0=P_0V_0$.

في الانضغاط المفاجئ، يفرض الضغط الخارجي $P_1$. عند التوازن الميكانيكي النهائي، يساوي ضغط الغاز هذا الضغط الخارجي: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$. ويفرض التوازن الحراري النهائي مع الخزان $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$. تعطي معادلة الحالة عندئذ

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

إذن يؤدي التحولان إلى الحالة النهائية نفسها $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$.

السؤال 2. الإنتروبيا دالة حالة: لا يعتمد تغيرها إلا على الحالتين الابتدائية والنهائية، وهما متماثلتان في التجربتين. للغاز المثالي،

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

إذن $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$. لا يحدد انخفاض إنتروبيا الغاز الإنتروبيا المنتجة: يجب أيضا أخذ التبادلات مع الخزان بالحسبان.

السؤال 3. أثناء الانضغاط العكوس، $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$. الشغل المتلقى هو

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

يعود الغاز إلى درجة حرارته الابتدائية، ولذلك $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$. يعطي المبدأ الأول $\Delta U=Q+W$ العلاقة $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$. يتلقى الخزان الحرارة المعاكسة عند درجة الحرارة $T_0$:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

الإنتروبيا التي يتلقاها الغاز $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$، ولذلك $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$. يتلقى الخزان الإنتروبيا $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$، وهي تساوي تغير إنتروبيته: فلا ينتج هو أيضا إنتروبيا. بالجمع نحصل على $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: لا تنتج إنتروبيا في المجموعة.

السؤال 4. يحدث الانضغاط المفاجئ تحت ضغط خارجي ثابت $P_1$. لذا فإن الشغل المتلقى هو

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

لدينا مجددا $\Delta U=0$، ولذلك $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$.

السؤال 5. يتلقى الخزان $-Q_{\mathrm{irr}}$، ومنه

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

حصيلة إنتروبيا الغاز هي

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

للخزان المثالي، الإنتروبيا المتلقاة $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ تساوي تغير إنتروبيته: فلا ينتج إنتروبيا. لا تتلقى المجموعة غاز—خزان حرارة من أي جسم آخر؛ والشغل المتلقى من الخارج لا يحمل إنتروبيا. لذا تنتج زيادة إنتروبيتها داخليا:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

لنضع $f(x)=x-1-\ln x$. عندئذ $f(1)=0$ و$f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$ عندما $x>1$. تتزايد الدالة انطلاقا من الصفر، ولذلك $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$. ومن جهة أخرى،

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

بما أن $Q=-W$ في الحالتين، يطرح الشغل الإضافي على صورة حرارة إلى الخزان. هذه كلفة اللاعكوسية.