دورة كارنو: الطاقة والإنتروبيا على كل فرع

السؤال 1. يبين المخطط الفرعين الكظومين $AB$ و$CD$، والفرع $BC$ على المنحنى الساخن ثابت الحرارة، والفرع $DA$ على المنحنى البارد ثابت الحرارة. تسير الدورة مع عقارب الساعة. على الفرع الكظوم $AB$ يعطي قانون لابلاس

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

بالرفع إلى القوة $1/(\gamma-1)$ ووضع $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$ نحصل على $V_A=bV_B$. وبالمثل، على $CD$،

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

إذن $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: نسبة الحجم نفسها على الفرعين ثابتي الحرارة، لكن في اتجاهين متعاكسين.

السؤال 2. على كل فرع كظوم عكوس، $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ و$\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

على فرع ثابت الحرارة لغاز مثالي، $\mathrm dU=0$، ومن ثم $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$. للتمدد عند درجة الحرارة الساخنة،

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

للانضغاط عند درجة الحرارة الباردة، $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

في المخطط $(S,T)$، تكون الإنتروبيا ثابتة على $AB$ و$CD$: هذان الفرعان رأسيان. والفرعان ثابتا الحرارة $BC$ و$DA$ أفقيان. باختيار $S_A$ أصلا نسبيا، تكون الإحداثيات

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{الحالة}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

نحصل على مستطيل يسار مع عقارب الساعة، عرضه $nR\ln r$ وارتفاعه $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$.

السؤال 3. خلال دورة، $\Delta U=0$. باعتماد إشارة موجبة للطاقة المتلقاة، يعطي المبدأ الأول

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

الشغل المقدم هو $-W>0$ والحرارة المتلقاة من الخزان الساخن $Q_{BC}>0$. إذن الكفاءة هي

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

يتلقى كل خزان الحرارة المعاكسة لتلك التي يمنحها للغاز:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

يعود الغاز إلى حالته الابتدائية، ولذلك $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$. مجموع التغيرات الثلاثة صفر: لا تنتج إنتروبيا. الشغل المقدم إلى المحيط لا يحمل إنتروبيا.

السؤال 4. نحافظ على اصطلاح الطاقة المتلقاة للمحرك: $Q_{\mathrm{H}}>0$ هي الحرارة المتلقاة من الخزان الساخن، و$Q_{\mathrm{C}}<0$ تلك المتلقاة من الخزان البارد، و$W<0$ الشغل المتلقى خلال دورة. يتلقى الخزانان الحرارتين المعاكستين، $-Q_{\mathrm{H}}$ و$-Q_{\mathrm{C}}$. تغير إنتروبيتهما الكلي هو الإنتروبيا المنتجة، لأن المحرك يعود إلى حالته الابتدائية ولا ينقل إلى المحيط إلا شغلا:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

بالضرب في $T_{\mathrm{C}}$ وعزل $Q_{\mathrm{C}}$ نجد

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

يعطي المبدأ الأول $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$. الشغل المسترجع هو $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$، ومنه

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

بما أن $T_{\mathrm{C}}>0$ و$Q_{\mathrm{H}}>0$، يقلل إنتاج إنتروبيا موجبة الكفاءة.

السؤال 5. الحرارة المتلقاة من الخزان الساخن نفسها للمحركين. من السؤال 2،

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

كفاءة المحرك العكوس هي

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

يعطي السؤال 4 الفرق بين الكفاءتين:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

البسط $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ طاقة، ولذلك النسبة بلا أبعاد. الانخفاض $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ نقطة مئوية. وعليه،

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

تنخفض الكفاءة من $40\,\%$ إلى $28{,}2\,\%$؛ والانخفاض بمقدار $11{,}8$ نقطة ليس انخفاضا نسبيا بمقدار $11{,}8\,\%$.